考研数学（高数部分，第一章）复习

2023

04-02

整理姜晓千数学第一讲 函数的极限连续

04-09

整理姜晓千数学第一讲

• 无穷大、无穷小
• 洛必达法则
• 等价代换
• Taylor公式
• 复习之前的概念

04-10

继续昨天的任务

• 完善了几个常见的函数的taylor展开
• 复习了求解函数极限中的七类未定式

04-11

• 数列极限的求解方法
  • 单调有界定理
  • 夹逼准则
  • 定积分定义
• 连续和间断
• 导数
  • 导数的定义
  • 导数的性质

04-17

增添了几道例题。

• [x] 刷660 前45题

[toc]

函数极限连续

微积分之前先==化简==

• 拆、提、同除、同乘
• 对数公式
• 三角公式

1.1函数

• 重要内容：

单调性

有界性

奇偶性 第三章积分

周期性 第三章积分

极限 （大题、小题都有）

八个方法：

• 求解函数极限
  • 洛必达 （简单函数适合洛必达）【简单函数：容易求导，越求导越简单的】
  • ==导数定义== （牛顿最先提出 一阶 二阶 第二章会讲到）
  • 等价代换 （3组）
  • taylor公式 （8个常见的）
  • 拉格朗日 （第二章内容 ）
• 数列极限
  • 单调有界
  • 夹逼准则
  • 定积分定义 （第三章 黎曼定积分定义）

数列极限的概念

数列极限的定义：’$ \lim{ n \to \infty} a{n} = a $’ Cauthy提出的 数列极限的定义。

$$对于 \forall \epsilon \gt 0 \ \ \exists N \gt 0 \ \ \ 当 n \gt N \ 时 \ |a_{n}-a| \lt \epsilon$$

数列机芯啊描述了这个数列在趋向于无穷的时候函数的逼近值。

tips:

在柯西的定义中$|a_{n}-a| \le \epsilon$ 也是可以的。

同理：以下变形也是可以的：

• $$|a_{n}-a| \le 10\epsilon$$
• $$|a_{n}-a| \le \frac{1}{10}\epsilon$$

总结：只要在定义中保证数列的无穷处和目标值a要多近有多近就可以。

数列极限的充要条件

$$在Cauthy对数列极限的定义中 \\ ....(极限定义)... \iff对于\forall a_n 中的任意子列 b_n \ \ \lim_{n\rightarrow \infty} b_n = a$$

注意！要是后推前必须要说明所有的子列的极限都是相等的才能推导出 Cauthy极限的定义。

（所有）子列极限都相等

数列极限的性质

• 唯一性：
• 全局有界性：数列有极限必定有界，但是数列有界不一定有极限³

$$若数a_n的极限是a \ 那么 必定\forall \epsilon \gt 0 \ \ \exists N \gt 0 \ \ \ 当 n \gt N \ 时 \ |a_{n}-a| \lt \epsilon \\ 也是就是说在n大于一个比较大的数字之后 a_n 的所有的值都会在一个很小的范围内，而且N之前的取值也都是有界的，所以数列整体有界$$

• 局部保号性 (极限不能等于0)；

$$假设\lim_{n \to \infty} a_n = a \gt 0 \ \ \ 则 \exists N 当n \gt N \ \ 时 a_n \gt 0$$

数列极限的计算

• 单调有界 使用方程
  • 如何证明数列的单调性：
    • 和式$a_n - a_{n-1}$ 作差
    • 乘积$\frac{a_{n+1}}{a_n}$ 做商
    • 函数单调性
• 夹逼准则
• 积分

函数极限的概念

函数极限的定义：两个大定义 和六个小定义 (x-x0不能等于0 因为函数可能在x0没有定义)

$$当x\to x_0时 \\ (1) \lim_{x \to x_0} f(x) = A :\ \ \ \ for \ \forall \epsilon \gt0 \ \ \exists \delta \gt 0 \ 使得当x \ \ \ 0\lt |x-x_0| \lt \delta \ 时 \ \ |f(x)-A| \lt \epsilon \\ (2)\lim_{x \to x_0^+} f(x) = A :\ \ \ \ for \ \forall \epsilon \gt0 \ \ \exists \delta \gt 0 \ 使得当x \ \ \ 0\lt x-x_0 \lt \delta \ 时 \ \ |f(x)-A| \lt \epsilon \\ (3) \lim_{x \to x_0^-} f(x) = A :\ \ \ \ for \ \forall \epsilon \gt0 \ \ \exists \delta \gt 0 \ 使得当x \ \ \ -\delta \lt x-x_0 \lt 0 \ 时 \ \ |f(x)-A| \lt \epsilon$$

上述的三个变形代表了不同的趋近情况 2、3分别时左趋近和右趋近时候的定义

$$当x \to \infty时 \\ (1)\lim_{x \to \infty} f(x) = A :\ \ \ \ for \ \forall \epsilon \gt0 \ \ \exists X \gt 0 \ 使得当x \ \ \ |x| \gt X \ 时 \ \ |f(x)-A| \lt \epsilon \\ (2)\lim_{x \to +\infty} f(x) = A : \ \ \ \ for \ \forall \epsilon \gt0 \ \ \exists X \gt 0 \ 使得当x \ \ \ x \gt X \ 时 \ \ |f(x)-A| \lt \epsilon \\ (3)\lim_{x \to -\infty} f(x) = A : \ \ \ \ for \ \forall \epsilon \gt0 \ \ \exists X \gt 0 \ 使得当x \ \ \ x \lt -X \ 时 \ \ |f(x)-A| \lt \epsilon$$

函数极限的充要条件 （感觉有点没有用）

描述：函数的极限存在那么左趋近和右趋近都要相等

函数的趋近无穷极限存在那么同理趋近正无穷和负无穷也都要相等

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = A \ \iff \ \lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-}f(x) = A \\ \lim_{x \to \infty} f(x) = A \ \iff \ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty}f(x) = A$$

函数极限的性质

若函数存在极限则有如下的性质。

• 唯一性 和数列极限的唯一性相似
• 局部有界性

$$设\lim_{x \to x_0} f(x) 存在，则 \ \ \exists \delta \gt 0 \ \ \exists M \gt 0 \ \ 使得当 \ \ 0 \lt |x-x_0| \lt \delta \ (局部) 时 \ \ |f(x)| \le M \ \ (有界)$$

tips:

对于上述的有点不同的六个定义，局部有界性应该是修改相应的限制局部的区间。

• 局部保号性 极限不能等于0
• 推论

$$设f(x) \ge 0 \ \ 则 \lim_{x \to x_0} f(x) = A \ge 0 \\ 设f(x) \gt 0 \ \ 则 \lim_{x \to x_0} f(x) = A \ge 0$$

这个推论：极限和函数的上界\下界之间的关系

$$若f(x) \ge k \ \ 是否有 \lim_{x \to x_0} f(x) = A \ge k \ \ ? \ \ (成立！) \\ 若f(x) \ge k \ \ 则 \lim_{x \to x_0} f(x) = A \ge k \\ 若f(x) \gt k \ \ 则 \lim_{x \to x_0} f(x) = A \ge k$$

函数极限的四则运算

$$\lim_{x \to [..]} f(x) = A \ \ \ \lim_{x \to [..]} f(x) = B \\ sum:\lim_{x \to [..]} [f(x)\pm g(x)] = A\pm B \\ multi: \lim_{x \to [..]} f(x) \times g(x) = A\times B \\ div: \lim_{x \to [..]} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}$$

推论：（提出非0因子）

$$假设 \lim_{x \to [..]} f(x) = A \neq 0, \ \ 则 \lim_{x \to [..]} f(x)g(x) = A\lim_{x \to [..]} g(x)$$

注意 ：

A一定是一个非0因子！每个极限都要存在，分母极限不为0。

1.2无穷小和无穷大

无穷小的定义

极限为0 的函数

$$\lim_{x \to [..]} f(x) = 0 \ \ 则称f(x)为x \to [..] 时的无穷小。$$

无穷小的性质

1. 有限个无穷小的和还是无穷小
2. 有限个无穷小的积还是无穷小
3. 无穷小乘有界量为无穷小

无穷小阶的比较（缺少比较的方法论）

• 怎么判断两个无穷小谁是谁的高阶无穷小

  $$if \ \ \lim_{x \to [..]} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 \\ 则 f 为 g的高阶无穷小 \ \ 记为 f = o(g(x))$$

• …..同阶无穷小

  $$if \ \ \lim_{x \to [..]} \frac{f(x)}{g(x)} = C \ \ \ (c \neq 0) \\ 则 f 为 g的同阶无穷小$$

• …..等价无穷小

  $$if \ \ \lim_{x \to [..]} \frac{f(x)}{g(x)} = 1 \\ 则 f 为 g的等价无穷小$$

• …..k阶无穷小

  $$if \ \ \lim_{x \to [..]} \frac{f(x)}{g(x)^k} = C \ \ \ (c \neq 0) \\ 则 f 为 g的k阶无穷小$$

高阶无穷小的(运算)性质

• 性质一：和式性质，无穷小的和的阶数等于和式中最小的阶，低阶吸收高阶。

$$o(x^m)\pm o(x^n) = o(x^l) \ \ l = min(m,n);$$

• 性质二：乘系数性质

$$k \ o(x^m) = o(x^m) \ \$$

• 性质三：乘法性质

  $$o(x^m)\times x^n = o(x^n)\times x^m = o(x^n)\times o(x^m) = o(x^{m+n})$$

• 性质四：除法性质

  $$\frac{o(x^m)}{x^n} = o(x^{m-n}) \ \ (m \gt n) \\ \frac{x^m}{o(x^n)} = o(x^{m-n}) \ \ (m \gt n) \ \ (不成立)\\ \frac{o(x^m)}{o(x^n)} = o(x^{m-n}) \ \ (m \gt n) \ \ (不成立)\\ 上述两个式子都不成立，符号代表着其实是一种范围式的记法，\\ 如果出现在分母，那么必定能找到一个一个分母阶数大于分子阶数的项那么最后整个式子的结果就不确定。$$

无穷小相关的题目

给定两个无穷小的比值计算其中一个函数的极限

千万不能想Taylor，题目中没有说明这个函数的可导性，Taylor需要知道该函数在该点n+1阶可导

• 给定两个无穷小的比值计算其中一个函数的极限 1
• 给定两个无穷小的比值计算其中一个函数的极限 2
• 给定两个无穷小的比值计算其中一个函数的极限 3

$$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+x+\frac{f(x)}{x}\right)}{x}=3 \text {, 则 } \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^2}=$$

$$\text { 设 } \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1-x)+x f(x)}{x^2}=0 \text {, 则 } \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-1}{x}=$$

This is Tab 3.

无穷大的定义

• 定义一：趋近一个确定的点的无穷大概念定义

  $$\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty \\ \forall M \gt 0 , \ \ \exists \delta \gt 0, \ \ 使得0\lt |x-x_0| \lt \delta \ \ \ |f(x)| \gt M$$

• 定义二：趋近于无穷时候的无穷大

  $$\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty \\ \forall M \gt 0 , \ \ \exists X \gt 0, \ \ 使得 |x| \gt X \ \ \ |f(x)| \gt M$$

无穷大的性质

1. 无穷大的倒数是无穷小、==非0无穷小的倒数（该函数不能区到0）【个人感觉有点不太严谨 或者我听错了，之后再看看】==

2. 无穷大一定是无界量 但是 无界量不一定是无穷大 。

   $$无穷大的概念是一个连续的概念，根据定义必定存在一个区间，在这个区间内的任意取值都可以要多大有多大 \\ 无界量只要有一个点满足无穷条件就可以满足其定义 \\ f(x) = \begin{cases} \infty , \ \ \ x = x_0 \\ 0, \ \ \ x \neq x_0 \\ \end{cases} \\ 或者如下例子 \\ f(x) = x\sin(x) \ \ \\ x = 2n\pi + \frac{\pi}{2} \\ x = 2n\pi$$

无穷大阶的比较 （缺少比较的方法论）

这个部分需要先去硬性记忆一下。

• 函数无穷大

$$常见函数的无穷大比较 x \to +\infty \\ \ln(x)^{\alpha} \ll x^{\beta} \ll a^x \ll x^x$$

• 数列无穷大 $$常见数列的无穷大比较 n\to \infty \\ \ln(n)^{\alpha} \ll n^{\beta} \ll a^n \ll n! \ll x^x$$

1.3洛必达法则（方法论、解题方法）

洛必达法则的条件

满足这三个条件说明可以洛必达，但是如果洛必达求不出来那也不能说明函数极限不存在。

• 一

  $$\lim_{x \to [..]} [\frac{f(x)}{g(x)}] \ \ 为 \frac{0}{0} \ \ or \ \ \frac{\infty}{\infty} \ 类型的$$

• 二

  $$f(x) \ \ and \ \ g(x) \ \ 可导 \ \ \ (涉及到可导性判断)$$

• 三

  $$\lim_{x \to [..]} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to [..]} \frac{f'(x)}{g'(x)} = 0 \ \ or \ \ \infty 时才能说明原极限为0 或者\infty; 如果不存在则不能说明原极限不存在。$$

则

$$\lim_{x \to [..]} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to [..]} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to [..]} \frac{f''(x)}{g''(x)} = .......$$

经典错误：

$$\lim_{x \to \infty} \frac{x+\sin(x)}{x} \ \$$

结论：洛必达求出来极限不存在不能说明当前极限不存在，得用其他方法求。

1.4等价代换

等价代换的实质是泰勒公式，是一个函数在0点的无穷次展开。

• X 趋近 0 的时候

$$x \to 0 \\ (1) \ \ \ x \sim \sin(x) \sim \tan(x) \sim \arcsin(x) \sim \arctan(x) \sim e^x-1 \sim \ln(x+1) \\ (2)\begin{cases} (1+x)^\alpha -1 \sim \alpha x \\ \alpha ^x -1 \sim x\ln\alpha \end{cases} \\ (3)\begin{cases} x-\sin(x) \sim \arcsin(x)-x \sim \frac{x^3}{6} \\ \tan(x)-x \sim x-\arctan(x) \sim \frac{x^3}{3} \\ \tan(x)-\sin(x) \sim \arctan(x) - \arcsin(x) \sim \frac{x^3}{2} \\ \end{cases}$$

• 等价代换求极限 注意点：
  • 乘除可以代换
  • 加减不能随意代换，最简形式不抵消的时候可以代换 （个人建议直接使用taylor公式）

推广：

$$x \to 0 \ \ 可以推广为 \ \ [..] \to 0 \\ 例如：\ln(1+[..]) \sim [..] \ \ 当 \ \ [..] \to 0 时$$

1.5 Taylor公式

Taylor公式定义

$$f(x) 在 x = x_0 的某一个邻域内 n+1 阶可导则有如下 \\ f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{1}{2!}f''(x_0)(x-x_0)^2 + \frac{1}{3!}f'''(x_0)(x-x_0)^3 + .....+ \frac{1}{n!}f^{n}(x_0)(x-x_0)^n + \begin{cases} \frac{1}{(n+1)!}f^{n+1}(\zeta)(x-x_0)^{n+1} \ \ \ largrange 余项 \\ o(x-x_0)^n \ \ \ Peano余项 \end{cases}$$

第n+1阶导数是一个余项形式

Maclaurin （麦克劳林）公式

$$Taylor公式中当x_0 = 0时的取值。\\ f(x) = f(0) + f'(0)(x-0) + \frac{1}{2!}f''(0)(x-0)^2 + \frac{1}{3!}f'''(0)(x-0)^3 + .....+ \frac{1}{n!}f^{n}(0)(x-0)^n$$

常见函数的一阶导数

$$\begin{align} &(1) (C)^{\prime}=0, \\ &(2) (x^\mu)^{\prime}=\mu x^{\mu-1}, \\ &(3) (\sin x)^{\prime}=\cos x, \\ &(4) (\cos x)^{\prime}=-\sin x, \\ &(5) (\tan x)^{\prime}=\sec ^2 x, \\ &(6) (\cot x)^{\prime}=-\csc ^2 x, \\ &(7) (\sec x)^{\prime}=\sec x \tan x, \\ &(8) (\csc x)^{\prime}=-\csc x \cot x, \\ &(9) (a^x)^{\prime}=a^x \ln a \quad(a>0, a \neq 1), \\ &(10) (\mathrm{e}^x)^{\prime}=\mathrm{e}^x, \\ &(11) (\log _a )^{\prime}=\frac{1}{x \ln a}(a>0, a \neq 1), \\ &(12) (\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}, \\ &(13) (\arcsin x)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \\ &(14) (\arccos x)^{\prime}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \\ &(15) (\arctan x)^{\prime}=\frac{1}{1+x^2}, \\ &(16) (\operatorname{arccot} x)^{\prime}=-\frac{1}{1+x^2} \\ \end{align}$$

常见函数的Taylor公式¹

$$\begin{align} & \mathrm{e}^{\mathrm{x}}=\sum_{\mathrm{n}=0}^{\infty} \frac{1}{\mathrm{n} !} \mathrm{x}^{\mathrm{n}}=1+\mathrm{x}+\frac{1}{2 !} \mathrm{x}^2+\cdots \in(-\infty,+\infty) \\ & \sin \mathrm{x}=\sum_{\mathrm{n}=0}^{\infty} \frac{(-1)^{\mathrm{n}}}{(2 \mathrm{n}+1) !} \mathrm{x}^{2 \mathrm{n}+1}=\mathrm{x}-\frac{1}{3 !} \mathrm{x}^3+\frac{1}{5 !} \mathrm{x}^5+\cdots, \mathrm{x} \in(-\infty,+\infty) \\ & \alpha^{x} = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(\ln\alpha)^n}{n!}x^n = 1+\ln\alpha x +\frac{(\ln\alpha)^2}{2!}x^2+\frac{(\ln\alpha)^3}{3!} + \cdots\\ & \arcsin \mathrm{x}=\sum_{\mathrm{n}=0}^{\infty} \frac{(2 \mathrm{n}) !}{4^{\mathrm{n}}(\mathrm{n} !)^2(2 \mathrm{n}+1)} \mathrm{x}^{2 \mathrm{n}+1}=\mathrm{x}+\frac{1}{6} \mathrm{x}^3+\frac{3}{40} \mathrm{x}^5+\frac{5}{112} \mathrm{x}^7+\frac{35}{1152} \mathrm{x}^9+\cdots+, \mathrm{x} \in(-1,1) \\ & \cos \mathrm{x}=\sum_{\mathrm{n}=0}^{\infty} \frac{(-1)^{\mathrm{n}}}{(2 \mathrm{n}) !} \mathrm{x}^{2 \mathrm{n}}=1-\frac{1}{2 !} \mathrm{x}^2+\frac{1}{4 !} \mathrm{x}^4+\cdots, \mathrm{x} \in(-\infty,+\infty) \\ & 注意：\arcsin+\arccos = \frac{\pi}{2} : \\ & \arccos \mathrm{x} = \frac{\pi}{2} - (\sum_{\mathrm{n}=0}^{\infty} \frac{(2 \mathrm{n}) !}{4^{\mathrm{n}}(\mathrm{n} !)^2(2 \mathrm{n}+1)} \mathrm{x}^{2 \mathrm{n}+1}) = \frac{\pi}{2} - ( \mathrm{x}+\frac{1}{6} \mathrm{x}^3+\frac{3}{40} \mathrm{x}^5+\frac{5}{112} \mathrm{x}^7+\frac{35}{1152} \mathrm{x}^9+\cdots+ ) \\ & \ln (1+x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+1} x^{n+1}=x-\frac{1}{2} x^2+\frac{1}{3} x^3+\cdots, x \in(-1,1] \\ & \frac{1}{1-\mathrm{x}}=\sum_{\mathrm{n}=0}^{\infty} \mathrm{x}^{\mathrm{n}}=1+\mathrm{x}+\mathrm{x}^2+\mathrm{x}^3+\cdots, \mathrm{x} \in(-1,1) \\ & \frac{1}{1+\mathrm{x}}=\sum_{\mathrm{n}=0}^{\infty}(-1)^{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}}=1-\mathrm{x}+\mathrm{x}^2-\mathrm{x}^3+\cdots, \mathrm{x} \in(-1,1) \\ & (1+\mathrm{x})^\alpha=1+\sum_{\mathrm{n}=1}^{\infty} \frac{\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-\mathrm{n}+1)}{\mathrm{n} !} \mathrm{x}^{\mathrm{n}}=1+\alpha \mathrm{x}+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2 !} \mathrm{x}^2+\cdots, \mathrm{x} \in(-1,1) \\ & \arctan \mathrm{x}=\sum_{\mathrm{n}=0}^{\infty} \frac{(-1)^{\mathrm{n}}}{2 \mathrm{n}+1} \mathrm{x}^{2 \mathrm{n}+1}=\mathrm{x}-\frac{1}{3} \mathrm{x}^3+\frac{1}{5} \mathrm{x}^5+\cdots+\mathrm{x} \in[-1,1] \\ & \tan \mathrm{x}=\sum_{\mathrm{n}=1}^{\infty} \frac{\mathrm{B}_{2 \mathrm{n}}(-4)^{\mathrm{n}}\left(1-4^{\mathrm{n}}\right)}{(2 \mathrm{n}) !} \mathrm{x}^{2 \mathrm{n}-1}=\mathrm{x}+\frac{1}{3} \mathrm{x}^3+\frac{2}{15} \mathrm{x}^5+\frac{17}{315} \mathrm{x}^7+\frac{62}{2835} \mathrm{x}^9+\frac{1382}{155925} \mathrm{x}^{11}+\frac{21844}{6081075} \mathrm{x}^{13}+... \mathrm{x} \in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) \\ & \end{align}$$

推广：这里的taylor公式也可以推广为【..】=> 0；类似复合函数的形式,注意函数极限中的两个式子的加减是否产生了抵消。

1.6 七类未定式

$$七类未定式： \ \ \ \frac{0}{0} \ \ \ \frac{\infty}{\infty} \ \ \ 0\times\infty \ \ \ \infty - \infty \ \ \ 0^{\infty} \ \ \ \infty^{0} \ \ \ 1^{\infty}$$

• $$\infty^{0}$$

• 无穷的0次方例题 1
• 无穷的0次方例题 2
• 无穷的0次方例题 3

$$I = \lim_{x \to \infty}(e^{x^2}+x^3)^{\frac{1}{x^2}}\\ (1) \ \ I = \lim_{x \to \infty} e^{\frac{\ln{(e^{x^2}+x^3})}{x^2}} \Rightarrow 对于指数 \frac{\ln{(e^{x^2}+x^3)}}{x^2} 使用洛必达 \\ (2) 观察到外层的指数和里面的某一项有可以相消的指数：化简\Rightarrow \lim_{x\to \infty} [e^{x^2}(1+\frac{x^3}{e^{x^2}})]^{\frac{1}{x^2}}$$

将函数指数化、对数化，将其变为一个$\frac{\infty}{\infty}$类型，然后研究指数，使用洛必达解出

This is Tab 2.

This is Tab 3.

Lagrange方法

$$f(a)-f(b) = f'(\xi)(a-b)$$

拉格朗日求函数极限的方法一定要注意 构造的函数的两个区间一定

对数函数公式

$$\begin{cases} &恒等变形 \ \ \ f(x) = e^{\ln f(x)} = \ln {e^{f(x)}} \\ & 加法公式 \ \ \ \ln{a} + \ln{b} = \ln{ab} \\ & 减法公式 \ \ \ \ln{a} - \ln{b} = \ln{\frac{a}{b}} \\ &换底公式 \ \ \ \log_a b = \frac{\ln{b}}{\ln{a}} \\ \end{cases}$$

三角函数公式²

和差化积公式记忆口诀

正加正，正在前，余减余，余并肩，正减正，余在前，余减余，负正弦。

解决七类未定式的方法论：

• 三种：等价、洛必达、泰勒

• 三种：洛必达、同除最高次幂项（注意符号的问题）、抓大头

• 两种：将其化为第一种或者第二种方法 来做

• 三种：通分、有理化、倒代换

• 第五和第六中未定式：使用对数的公式化简

  tips (注意):

1.7 数列极限 （单调有界定理）

重要不等式

$$\begin{align} & (1) \sin(x) \lt x \lt \tan(x) , x \in(0,\frac{\pi}{2}) \\ & (2) e^x \lt 1+x, x \neq 0 \\ & (3) \frac{x}{1+x} \lt \ln(1+x) \lt x , x \neq 0 \ \ and \ \ x \in(-1,\infty) \\ \end{align}$$

单调有界定理的步骤

• 放缩确定界（证明有界）

• 证明单调

  $$\begin{align} & (1) 做差 \ \ x_{n+1}-x_{n} \\ & (2) 做商 \ \ \frac{x_{n+1}}{x_n} \\ & (3) 求解函数的单调性 \ \ y = f(x) \begin{cases} f'(x) \gt 0 \begin{cases} x_1 \gt x_2 \rightarrow \ x_2 = f(x_1)>f(x_2) = x_3,即 x_2 \gt x_3 以此类推,x_{n-1} \gt x_{n} \\ x_1 \lt x_2 \rightarrow \ x_2 = f(x_1) \lt f(x_2) = x_3,...., x_{n-1} \lt x_{n} \end{cases} \\ f'(x) \lt 0 \ \ 使用夹逼准则 \end{cases} \\ \end{align}$$

• 两边做极限解方程求解最后的极限值

1.8 数列极限（夹逼准则）

难点在于如何构造夹逼的两个函数。

$$x_n \le y_n \le z_n \ and \ \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} y_n = A \rightarrow \lim_{n \to \infty} y_n = A$$

1.9 定积分定义 （这个比较简单）

夹逼准则和定积分定义有时候会搞混。

2.1 连续

连续的定义

连续、右连续、左连续

$$\begin{align} & (1) 连续 \ \ \ \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \\ & (2) 右连续 \ \ \ \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0) \\ & (3) 左连续 \ \ \ \lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0) \\ \end{align}$$

连续函数的性质

基本初等函数：反、对、幂、指、三（反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数）

初等函数：基本初等函数经过有限次四则运算或者复合 得到的函数

$$\begin{align} & (1) 基本初等函数在其定义域内都连续\\ & (2) 连续函数经过有限次的四则运算以及复合任然是连续的 \\ & (3) 初等函数都是连续函数\\ \end{align}$$

闭区间连续函数的性质（定理，一定是闭区间的、连续的）

$$\begin{align} & (1) 最值定理: 闭区间连续函数一定存在最大值M 最小值m，即 m \le f(x) \le M \\ & (1.1) 最值定理推论：有界定理【闭区间连续函数必定有界】\\ & (2) 介值定理: 若f(x) ， x \in[a,b] 则一定有 \exists \xi \in [a,b], 使得 f(\xi) = \frac{f(a)+f(b)}{2} \\ & (2.1) 介值定理推论: \ \forall x_1,x_2,x_3 \dots x_n \in[a,b] ,则有\exists \xi \in[a,b] \ \ f(\xi) = \frac{f(x_1)+f(x_2)+\dots +f(x_n)}{n} \\ & (3) 零点定理: 若 f(a)f(b) \lt 0, 则\exists \xi \in(a,b), f(\xi) = 0 \\ \end{align}$$

• 例题 1
• 例题 2
• 例题 3

$$例：设 f(x) 在x \in[a,b]上连续 and\ \ f(1) = f(0) \ \ \ 证明: \exists \xi 使得 f(\xi+\frac{1}{4}) = f(\xi)$$

This is Tab 2.

This is Tab 3.

2.2 间断点

间断点的定义

$$f(x)在某个（存在这样的去心邻域即可）\mathring{U}(x_0)有定义,并且f(x)在x_0处不连续（连续的定义见上文）。$$

间断点的分类

• 左右极限均存在的
  • 可去间断点，左极限=右极限，但是不等于点处的值。（或者该点处没有定义）
  • 跳跃间断点
• 左右极限至少有一个不存在的
  • 无穷间断点
  • 振荡间断点

间断点可导吗？

强化部分 （函数、极限、连续）【题型】

一：函数的性态

有界性的判定

下面的调节都可以推导出函数在所对应的区间上有界

==结论==：

1. 函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续 $\Rightarrow$ 函数在闭区间上有界。
2. 函数在开区间内连续，且在左右端点处的极限（$\lim_{x \rightarrow a^{+}} f(x) \ , \ \lim_{x \rightarrow b^{-}} f(x)$）存在。 $\Rightarrow$ 函数在闭区间上有界。
3. $f'(x)$ 在有限区间$(a,b)$ 内有界 $\Rightarrow$ 函数在闭区间上有界。
   • 拉格朗日+绝对值的喝茶

方法论：

• 在使用这三个条件判断函数的有界性的时候需要线观察被判断的函数的区间：
  • 无限区间—条件2
  • 闭区间—条件1
  • 有限开区间—条件3
  • 一开一闭—条件2+条件1：本质上还是看左右是否有趋近

==典型例题==：

• 无穷区间上的函数与其导数的关系 1
• 无穷区间上的函数与其导数的关系 2

2002年数一：

$$(3)设函数y=f(x)在(0，+∞)内有界且可导，则（\\ (A)当\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = 0时，必有\lim_{x \rightarrow + \infty}f'(x) = 0 \\ (B)当\lim_{x \rightarrow + \infty}f'(x) 存在时，必有\lim_{x \rightarrow + \infty}f'(x) =0. \\ (C)当\lim_{x \rightarrow + 0}f(x)=0时，必有\lim_{x \rightarrow + 0}f'(x) =0. \\ (D)当\lim_{x \rightarrow + 0}f'(x) 存在时，必有\lim_{x \rightarrow + 0}f'(x) =0. \\$$

导数对函数的控制要强于函数对导数的控制：A的一个反例就是

$$f(x)= \frac{1}{x}\sin x^{2}$$

导数在趋于无穷上不断振动，平且不不会随着x的增加而趋于平缓。

导函数与原函数的奇偶性与周期性

==导函数的奇偶性与周期性==

• 可导的奇函数的导函数—为偶函数。
• 可导的偶函数的导函数—为奇函数。
• 可导的周期函数的导函数—为周期函数。

==原函数==

• ==连续==的奇函数的所有原函数==都是==偶函数
• 连续的偶函数的所有原函数==只有一个==是奇函数
• 连续的周期函数的所有原函数==都为==周期函数。并且需要该周期函数在一个周期内的积分为0即$\int_{0}^{T}f(x)=0$

tips:（不清楚）

原函数存在定理：

• 只有连续函数才有原函数，有第一类间断点的函数不存在原函数。

可积定理（定积分存在定理）：

• 闭区间连续
• 有有限个第一类间断点

特殊情况：存在震荡间断点可能有原函数。

二：极限的概念

经典例题：

• 极限概念典型题目 1
• 极限概念典型题目 2

设$\lim_{n \rightarrow \infty}a_{n}=a$，并且$a \neq 0$，当n充分大时

A $|a_{n}|> \frac{|a|}{2}$

B $|a_{n}|< \frac{|a|}{2}$

C $a_{n}>a- \frac{1}{n}$

D $a_{n}<a+ \frac{1}{n}$

This is Tab 2.

三：函数极限的计算（大题考察）

• 零比零型

洛必达、泰勒公式、等价、导数定义（变化率的极限）、Lagrange（同一个函数的差）

• 无穷比无穷

洛必达、同除最高次幂、抓大头（每个因式保留高阶无穷大）、

==洛必达法则的推广==：

若满足条件：

• $$\lim_{x \rightarrow }\frac{f(x)}{g(x)} 为形如 \lim_{x \rightarrow }\frac{0}{0} , \ or \ \lim_{x \rightarrow }\frac{}{\infty}$$

• 两个函数可导，并导完之后有结果

四：已知极限反求参数

• 分母极限为0 分子极限必定为0
• 分子极限为0 分母极限为0 （有条件）
  • 条件是$\lim_{x \rightarrow }\frac{f(x)}{g(x)}=A \neq 0$ 上述分子推分母才可成立！

五：无穷小阶的比较

就是0比0型的

六：数列极限

• 单调有界（递推公式）
• 夹逼
• 积分

或许根据出题人的设问也可以大致判断使用的方法：

• 若明确要求你算出最后的取值，极限值夹逼、积分、单调有界+假设极限趋近解方程。
• 如果只要求你证明收敛+首先想到单调有界。一定要注意使用题目中给定的条件找找数列极限的上界或者下界。

七：间断点的判断

不懂的地方：

不定积分和原函数有什么区别？

泰勒公式能展开到第几项：

• 几种说法：

  • 函数有n阶连续导数
  • 函数在某邻域n+1阶可导（泰勒公式定义）

• 认识：

  如果明确了n阶可导那么只能有n+1的皮亚诺余项，如果说明了

reference

¹. Taylor多项式/Taylor公式 - 知乎 (zhihu.com) ↩(10条消息) 常见函数泰勒公式展开（清晰）常见的泰勒展开公式大全陌雨’的博客-CSDN博客 ↩

². 考研数学的初等函数变换公式——三角相关 - 知乎 (zhihu.com) ↩

³. (18 封私信 / 4 条消息) 有极限的数列是有界的怎么理解? - 知乎 (zhihu.com) ↩