考研数学（概率论部分，第一章）学习

2023

04-11

概率论基础第一章学习

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概率论

概率论部分的框架

概率部分

• 随机事件与概率
• 一维随机变量
• 二维随机变量
• 数值特征
• 大数定律

统计部分

• 统计量
• 参数估计

分值设置

3+1+1 = 32分 三道选择，一道填空，一道大题。

一： 随机事件与概率

章节设置

• 概念
• 古典和几何概型
• 三大公式
• 伯努利

1.1 随机事件的概念

1.1.1事件的定义

• 事件：样本点的==集合==

1.1.2性质 8

1.1.3关系 3+1

• 包含关系：一次实验只有一个样本点发生，A中的样本点发生则A发生，若B包含A，则只要A发生事件B一定发生,记作$A \subset B$

• 和：事件A和B==至少==有一个发生，称为A与B的和，记作$A\cup B$

• 积：事件A与B同时发生，称为A与B 的积，记作$AB$
• 互不相容（互斥）：两个不相交的集合
• 对立（互逆）：不能同时发生，但是必有一个发生
• 差：事件A发生但是事件B不发生称为A与B的差

1.1.4运算律

• 交换律
• 结合律
• 分配律（注意分配律的逆用）$A(B \cup C) = AB \cup AC , \ \ \ (A \cup B)(A \cup C) = A\cup(BC) , \ \ \$
• 摩根律 $\overline{A \cup B} = \overline{A} \ \overline{B} \ \ , \ \ \overline{AB} = \overline{A} \cup \overline{B}$
• 吸收律: $A \cup (AB) = A, \ \ A (A \cup B) = A$

1.2 概率的概念

1.2.1 概率的定义

事件发生的可能性大小

• 非负性
• 规范性
• 可列可加性

1.2.2 概率的性质

• 有限可加
• 单调不减
• 加法公式
• 减法公式
• 求逆公式

1.2.3 古典概型的定义

抽签原理。

1.2.4 几何概型的定义

1.3三大概率公式

1.3.1 条件概率公式

缩减样本空间

推论：乘法公式

$$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)},关键在于如何理解P(AB),AB事件发生的概率（这里可能要联系后面的事件独立性）\\ 乘法公式: \ \ P(AB) = P(B)P(A|B)$$

1.3.2 全概率公式

1.3.3 贝叶斯公式

1.4 事件独立性与伯努利概型

1.4.1 事件独立性的定义

$$如果事件A,B 满足P(AB) = P(A)P(B),则称事件AB相互独立$$

1.4.2 事件独立性的充要条件

$$\begin{align} & A,B事件独立 \Leftrightarrow \\ & P(A)P(B) = P(AB) \\ & P(A) = P(A|B) = P(A | \bar{B}) [同理 P(B)] \\ & A与\bar{B} 或\bar{A}与B 或\bar{A}与\bar{B} 相互独立 \end{align}$$