2023

04-11

概率论基础第一章学习

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概率论

概率论部分的框架

概率部分

随机事件与概率
一维随机变量
二维随机变量
数值特征
大数定律

统计部分

统计量
参数估计

分值设置

3+1+1 = 32分三道选择，一道填空，一道大题。

一：随机事件与概率

章节设置

概念
古典和几何概型
三大公式
伯努利

1.1 随机事件的概念

1.1.1事件的定义

事件：样本点的==集合==

1.1.2性质 8

1.1.3关系 3+1

包含关系：一次实验只有一个样本点发生，A中的样本点发生则A发生，若B包含A，则只要A发生事件B一定发生,记作 $A \subset B$
和：事件A和B==至少==有一个发生，称为A与B的和，记作 $A\cup B$
积：事件A与B同时发生，称为A与B 的积，记作 $AB$
互不相容（互斥）：两个不相交的集合
对立（互逆）：不能同时发生，但是必有一个发生
- 对立的充要条件 $AB=\overline{A} \ \overline{B}$
- $若AB对立 \Rightarrow P(A)+P(B) = 1$
差：事件A发生但是事件B不发生称为A与B的差

互不相容的两个事件需要想到： $AB= \varnothing \Leftrightarrow A \subset \overline{B}$ 也就是从概率上来看 $P(A)\leq P(\overline{B})$ 反之亦然

1.1.4运算律

交换律
结合律
分配律（注意分配律的逆用） $A(B \cup C) = AB \cup AC , \ \ \ (A \cup B)(A \cup C) = A\cup(BC) , \ \ \$
摩根律 $\overline{A \cup B} = \overline{A} \ \overline{B} \ \ , \ \ \overline{AB} = \overline{A} \cup \overline{B}$
吸收律: $A \cup (AB) = A, \ \ A (A \cup B) = A$

1.1.5 总结

必然事件发生的概率为1，但是概率为1的事件不一定是必然事件。
不可能事件发生的概率为0，但是概率为0 的事件不一定是不可能事件

例如连续型随机变量中的单一的点，是可能发生但是概率为0.

1.2 概率的概念

1.2.1 概率的定义

事件发生的可能性大小

非负性
规范性
可列可加性

1.2.2 概率的性质

有限可加
单调不减
加法公式
减法公式
求逆公式

1.2.3 古典概型的定义

抽签原理。

加法原理：将这种事件分为不相容的方法，最后这个事件就是这些方法的和
乘法原理：将这个事件从开始到结束分为n个步骤。
排列
$A_{n}^{m}=n(n-1)\cdots \left[ n-(m-1)\right] = \frac{n!}{(n-m)!}.$
允许
组合

1.2.4 几何概型的定义

1.2.5 两两独立和相互独立

两两独立：

如果我们说随机事件 $A_{i}$ 两两独立，那么就是对于任意n和m,有 $P(A_{n}\cap A_{m})=P(A_{n})P(A_{m})$
相互独立：

更一般的定义是，A1,A2,.,An是事件数大于2的个事件，如果对于其中任意2个，任意3个，。任意n个事件的积事件的概率，都等于各个事件概率之积，则称事件A1,A2,.,An相互独立

如何已知两两独立推导相互独立：

若事件个数为三，也就是只有A1、A2、A3，事件两两独立，那么若想推导相互独立只需要推导P(A1A2A3)=P(A3)P(A1A2) 也就是任意的2 1 组合独立。

1.3三大概率公式

1.3.1 条件概率公式

缩减样本空间

推论：乘法公式

$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)},关键在于如何理解P(AB),AB事件发生的概率（这里可能要联系后面的事件独立性）\\ 乘法公式: \ \ P(AB) = P(B)P(A|B) \\ P(A_{1}A_{2}\cdots A_{n})=P(A_{1})P(A_{2}|A_{1})P(A_{3}|A_{1}A_{2})\cdots P(A_{n}|A_{1}\cdots A_{n-1})$

条件表明了样本空间的缩减。

==条件概率也满足概率的相关公式！==

1.3.2 全概率公式

设 $B_{1},B_{2}, \cdots ,B_{n}$ 为完备事件组，即 $B_{i}B_{j}= \Phi(i \neq j)$ $\cup_{i=1}^{n} B_{i}=\Omega$ 则事件A的概率为（分割样本空间）

$P(A)= \sum _{i=1}^{n}P(AB_{i})= \sum _{i=1}^{n}P(B_{i})P(A|B_{i})$

1.3.3 贝叶斯公式 Bayes

$P(B_{j}|A)= \frac{P(A|B_{j})P(B_{j})}{\sum _{i=1}^{n}P(A|B_{i})P(B_{i})}$

1.4 事件独立性与伯努利概型

1.4.1 事件独立性的定义

$如果事件A,B 满足P(AB) = P(A)P(B),则称事件AB相互独立$

1.4.2 事件独立性的充要条件

$\begin{align} & A,B事件独立 \Leftrightarrow \\ & P(A)P(B) = P(AB) \\ & P(A) = P(A|B) = P(A | \bar{B}) [同理 P(B)] \\ & A与\bar{B} 或\bar{A}与B 或\bar{A}与\bar{B} 相互独立 \\ & P(A|B)+P(\overline{A}| \overline{B})=1(0<P(B)<1) \end{align}$

1.4.3 事件独立性与相关的关系

可以明确的是，独立一定不相关。但是不相关似乎不能说一定不独立！

重点！！

0概率事件或1概率事件与任意事件相互独立，从而不可能事件或必然事件与任意事件
相互独立

$证明：\\ 设P(B) = 1 \ \ 则 P(B) = P(AB)+P(B \overline{A}) = 0 \Rightarrow P(AB)=P(B \overline{A}) =0 \ \ \ (概率的非负性) \\ P(A)P(B) = P(A)\times0 = 0 \\ 故 \ \ P(A)P(B) = P(AB)$

计算事件的概率

一定要注意表述！

10个同规格的零件中混入3个次品，现进行逐个检查，则查完5个零件时正好查出3个次品的概率为