考研数学（概率论部分，第二章）学习

2023

04-15

第二章：一维随机变量，第一遍学习框架。

04-19

第二章：一维随机变量，第一遍学习框架。

补充内容！

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第二章 一维随机变量

章节设置

• 分布函数
  • 随机变量的定义
  • 分布函数的定义
  • 分布函数的性质
  • 如何判断一个函数是否为分布函数（分布函数的充要条件）
• 离散型随机变量
  • 概率分布
• 连续型随机变量
  • 概率密度
• 八大分布函数
• 随机变量函数

2.1 分布函数

2.1.1 随机变量的定义

设试验样本空间为$\Omega$，称实值函数$X = X(\omega),\omega \in \Omega$ 为随机变量，简记为$X$。样本点的函数。

2.1.2 分布函数的定义

设$X$为随机变量，对任意实数$x$，称$F(x)=P\{X\le x \}$ 为$X$的分布函数。

2.1.3 分布函数的性质

1. 非负性
2. 规范性
3. 右连续 $F(x_0+0) = F(x_0)$
4. 单调不减 当$x_1 \le x_2$ 时 $F(x_1)\le F(x_2)$
5. 计算单点 $P\left\{X=x_0\right\}=F\left(x_0\right)-F\left(x_0-0\right)$
6. 计算区间 $P\{a<X \leq b\}=F(b)-F(a)$

前四个性质是分布函数的==充要条件== 后两个是==计算==某一个区间的概率的公式

TIPS: 需要弄清楚$F(x) 与 f(x)$ 之间的关系

2.2 一维离散随机变量

2.2.1 概率分布的定义

• 概率分布的定义

  概率分布的定义 设随机变量 $X$ 的取值为有限个或可列个, 称 $X$ 为离散型随机变量.

  $$设 X 的取值为 x_{1}, x_{2}, \cdots, 称 P\left\{X=x_{i}\right\}=p_{i}, i=1,2, \cdots 为 X 的概率分布或分布律, 也可用列表法表示\\ F(x)=P\{X \leq x\}=\sum_{x_{i} \leq x} p_{i}$$

• 什么是离散型随机变量

2.2.2 概率分布的性质

• 非负性

• 规范性

  前两条构成概率分布的充要条件。

• 计算

2.3 一维连续随机变量

2.3.1 概率密度的定义

• 什么是连续型随机变量

• 概率密度的定义

  概率密度的定义 设随机变量X的分布函数为F(x),若存在非负可积函数f(x),对任意实数x,有$F(x)= \int _{- \infty}^{x}f(t)dt$,则称X为连续型随机变量,f(x)称为X的概率密度或密度函数.

概率密度并不是单点的概率，而是概率在该处的变化率，连续型随机变量的单点的概率始终=0，所以研究单点的概率是无意义的

2.3.2 概率密度的性质

1. 非负性 $f(x)\geq 0,- \infty <x<+\infty$

2. 规范性 $\int _{- \infty}^{+ \infty}f(x)dx=1;$

   上述两个性质也是概率密度的充要条件。

3. 计算$P \left\{ a<X \leq b \right\} = \int _{a}^{b}f(x)dx.$

【评注】性质(1)，(2)构成概率密度的充要条件，用于判定概率密度或已知概率密度反求参数;性
质(3)用于计算随机变量取值的概率，可以推广为

$$P \left\{ a<X \leq b \right\} =P \left\{ a \leq X<b \right\} =P \left\{ a \leq X \leq b \right\} =P \left\{ a<X<b \right\} = \int _{a}^{b}f(x)dx$$

例题：

• 例题
• 总结

【例2.4】(2002，数一)设 $X_{1}$和 $X_{2}$是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为

$f_{1}$(x)与 $f_{2}$(x),分布函数分别为 $F_{1}$(x)与 $F_{2}(x)$，则【 】
(A)$f_{1}(x)+f_{2}(x)$必为某一随机变量的概率密度
(B) $f_{1}(x)f_{2}$(x)必为某一随机变量的概率密度.
(C)$F_{1}(x)+F_{2}(x)$必为某一随机变量的分布函数.
(D) $F_{1}(x)F_{2}(x)$)必为某一随机变量的分布函数.

• $$aF_1 +bF_2 \ \ (a,b \gt 0) \ 为一个分布函数 \Leftrightarrow a+b = 1$$

• $F_1 F_2$ 一定是一个分布函数

• $$af_1 + bf_2 \ \ \ (a,b \gt 0)为概率密度 \Leftrightarrow a+b=1$$
• $f_1f_2$ 不一定是概率密度

2.4 八大概率分布（一定要关注定义）

离散随机变量：

• 01分布 一次伯努利

• Bernuolli分布

  设X为n重伯努利试验中事件A发生的次数，称X服从二项分布，记作$X \sim B(n,p)$，其概率分布
  为

  $$P \left\{ X=k \right\} =C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k},k=0,1, \cdots ,n$$

  当$n=1$时，$X \sim B(1,p)$，所以0-1分布为二项分布的特例

  • 二项分布的性质

    设$X\sim B(n，p)$,则$Y=n-X \sim B(n,1-p)$

• 几何分布

  无穷次伯努利

  设X为伯努利试验中事件A首次发生的试验次数，称X服从参数为p的几何分布，记作$X \sim G(p)$
  其概率分布为$P \left\{ X=k \right\} =p(1-p)^{k-1},k=1,2,$…

  几何分布的性质(无记忆性)设$X \sim G(p)$，则对任意正整数m，n,有

  $$P \left\{ X>m+n|X>m \right\} =P \left\{ X>n\right\}$$ $$P \left\{ X=m+n|X>m \right\} =P \left\{ X=n\right\}$$

• 超几何分布

  设N件产品，M件次品，从中任取n件，有X件次品，称X服从参数为N，M,n的超几何分布，记
  作$X\sim H(N，M,n)$,其概率分布为

  $$P \left\{ X=k \right\} = \frac{C_{M}^{k}C_{N-M}^{n-k}}{C_{N}^{n}},k=0,1, \cdots , \min(n,M) ...,\min(n,M)$$

• Poisson分布

  设随机变量 $X$ 的概率分布为

  $$P\{X=k\}=\frac{\lambda^k}{k !} e^{-\lambda}, k=0,1, \cdots(\lambda>0)$$

  称 $X$ 服从参数为 $\lambda$的泊松分布, 记作 $X \sim P(\lambda)$.

  • Poisson 定理：

  泊松定理 设 $\lim _{n \rightarrow \infty} n p_n=\lambda(\lambda>0)$, 则对任意非负整数 $k$, 有

  $$\lim _{n \rightarrow \infty} C_n^k p_n^k\left(1-p_n\right)^{n-k}=\frac{\lambda^k}{k !} e^{-\lambda}$$

  在实际应用中可以得到二项分布的近似计算, 即当 $n$ 很大, $p$ 很小时, 有

  $$C_n^k p^k(1-p)^{n-k} \approx \frac{\lambda^k}{k !} e^{-\lambda} \text {, 其中 } \lambda=n p$$

连续随机变量：

• 均匀分布

  设随机变量X的概率密度为

  $$f(x)= \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{b-a},&a \leq x \leq b \\ 0, &其他 \\ \end{matrix} \right.$$

称X服从[a，b]上的均匀分布，记作$X\sim U(a，b)$,其分布函数为 (U—uniform)

$$F(x) = \begin{cases} 0, &\ x \lt a \\ \frac{x-a}{b-a}, &a\le x \lt b \\ 1, &x\ge b \\ \end{cases}$$

• 指数分布

  设随机变量X的概率密度为

  $$f(x)= \begin{cases} \lambda e^{- \lambda x} , \ & x>0 \\ 0, & x \leq 0 \end{cases} (\lambda >0)$$

  称X服从参数为λ的指数分布，记作X~E(λ)，其分布函数为

  $$F(x)= \begin{cases} 1-e^{- \lambda x},x>0 \\ 0, x \leq 0 \end{cases}$$

• 正态分布 :exclamation:

  设随机变量X的概率密度为

  $$f(x)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma}e^{\frac{(x- \mu)^{2}}{2 \sigma ^{2}}} - \infty$$

  其中μ，σ为常数且$\sigma >0$，称X服从参数为μ，σ的正态分布，记作$X \sim N(\mu , \sigma ^{2})$，其分布函数为

  $$F(x)= \int _{- \infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma}e^{\frac{(t- \mu)^{2}}{2 \sigma ^{2}}} dt, - \infty$$

  • 标准正态分布

    当$\mu =0, \sigma ^{2}=1$ 时，X~N(0,1),称X服从标准正态分布，其概率密度为

    $$\varphi(x)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{- \frac{x^{2}}{2}} - \infty \\ 分布函数:\\ \Phi(x)= \int _{- \infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{- \frac{t^{2}}{2}}dt,- \infty$$

  • 正态分布的性质（其实是标准正态分布的性质）

    1. $$\Phi(0)= \frac{1}{2} ， \Phi(-x)=1- \Phi(x);$$
    2. 设$X\sim N(0，1)$,则$P \left\{ |X|<x \right\} = \Phi(x)- \Phi(-x)=2 \Phi(x)-1$

  • 正态分布的标准化

    设$X \sim N(\mu , \sigma ^{2})$，分布函数为F(x)，则$\frac{X- \mu}{\sigma}\sim N(0,1)$，故

    $$F(x)= \Phi(\frac{x- \mu}{\sigma}),P \left\{ a<X \leq b \right\} = \Phi(\frac{b- \mu}{\sigma})- \Phi(\frac{a- \mu}{\sigma})$$

2.5 一维随机变量函数的分布

离散型的概率分布中计算其随机变量函数的分布函数

连续型随机变量函数的分布

设随机变量X的概率密度为 $f_{x}(x)$，求$Y=g(X)$的分布.

法一：分布函数法

• 写分布函数： 设Y的分布函数为 $F_{Y}(y)$),则$F_{Y}(y)=P \left\{ Y \leq y \right\} =P \left\{ g(X)\leq y\right\}$

• 讨论小y：图像法讨论： 求$Y=g(X)$在X的==正概率密度==区间的值域$[\alpha，\beta]$,讨论y

  当$y<\alpha$时，$F_{y}(y)=0$
  当$\alpha \leq y<\beta$时，$F_{Y}(y)= \int_{g(x)\le y } f_{x}(x)dx;$
  当$y \geq \beta$时，$F_{Y}(y)=1$

• 求导

法二：公式法

设$y=g(x)$在X的正概率密度区间单调，值域为[α，β],反函数为$x=h(y)$，则Y的概率密度为

$$f_{Y}(y)= \begin{cases} f_{x}(h(y))|h^{\prime}(y)|&, a \leq y \leq \beta \\ 0 &, 其他 \\ \end{cases}$$

若$y=g(x)$在X的正概率密度区间[a，b]==分段严格单调==，则分段运用公式法，然后将概率密度相加. 注意公式法里面的绝对值