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不定积分

不定积分的该概念

原函数的定义

$asume: \ \exists f(x) 使得 F'(x) = f(x), 则F(x)就是f(x)的原函数。$

不定积分的定义

不定积分的性质

加减的性质
性质二
$\int d(f(x)) = \int f'(x)dx$
性质三
$asume:\int f(x)dx = F(x)+C \Rightarrow d(\int f(x)dx) = d(F(x)) = F'(x)dx = f(x)dx$

不定积分的计算方法

凑微分
分部
换元
- 三角代换
- 根式代换
- 倒代换
- 万能代换
- 整体代换
有理函数分解

基本积分公式

有理函数分解求不定积分

有理函数定义

有理函数分解定理

容易忘记的不定积分公式：

$&\int sec^{2}xdx= \tan x+C; \int csc^{2}xdx=- \cot x+C\\ &\int secx \tan xdx=secx+C; \int cscx \cot xdx=-cscx+C\\ &\int secxdx= \ln |secx+ \tan x|+C; \int cscxdx= \ln |cscx- \cot x|+C\\ &\int \arcsin xdx=x \arcsin x+ \sqrt{1-x^{2}}+C;\int \arccos x dx = x \arccos x- \sqrt{1-x^{2}}+C \\ &\int \arctan xdx=x \arctan x- \frac{1}{2}\ln(1+x^{2})+C\\ &\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}}dx= \ln |x+ \sqrt{x^{2}\pm a^{2}}|+C \\ &\int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx= \arcsin \frac{x}{a}+C$

定积分

定积分计算方法

凑微分
分部
换元
奇偶性

奇偶性的使用需要：1、判断函数是否具有奇偶性；2、区间对称
周期性
Wallis公式
定积分性质（带有极限的定积分）

定积分的方法+N-L公式

定积分概念

定积分的定义

定积分性质

线性性质：加法
区间可加
比较性质
- 推论一
- 推论二
估值定理（了解）
积分中值定理
- 一般积分中值
- 加强积分中值
  - 为什么可以确定可以不在端点（Largrange中值）
- 广义积分中值
  - 为什么gx不变号:exclamation:

变限积分

变限积分的定义

变限积分的性质

性质一
性质二
性质三

推广：

性质一
性质二
性质三

反常积分

反常积分的概念

一个是区间有界另一个是被积函数有界

无穷积分
- 无穷积分的定义，积分的区间为无限区间；
- ==定积分的极限==
- P积分
瑕积分
- 被积函数存在无穷间断点

无穷区间上的奇偶函数的积分需要判断敛散性

特别关注广义积分的定义： $\int _ { - \infty } ^ { + \infty } f ( x ) d x = \int _ { c } ^ { + \infty } f ( x ) d x + \int _ { - \infty } ^ { c } f ( x ) d x , 其中c为任意实数$

定积分的应用

几何
- 面积
  - 极坐标
- 体积
- 弧长
- 侧面积
物理
- 做工
- 受力

直角坐标

面积

体积

极坐标

面积

体积

150

Dirichlet 积分

解决如下形式： $\int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { \sin x } { x } d x$ 的积分（注意积分的上限为无穷）

解决要点在于将题目中给定的被积函数形式化为x的-1次方

考研数学（高数部分，第三章）复习