考研数学（高数部分，第七章）学习

2023

04-16

高等数学级数专题

05-03

级数再复习

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大纲

本章讲述的内容

• 级数的定义
• 级数收敛的必要条件
• 正向级数
  • 正向级数判断敛散性的方法
    • 比较判别法
    • 比值判别法（达朗贝尔判别法）
    • 根植判别法（柯西判别法）
    • 积分判别
    • 正向级数收敛的充要条件
• 交错级数
  • 牛顿莱布尼茨判别法
• 任意项级数
  • 绝对收敛、条件收敛
  • 绝对收敛和条件收敛的性质
• 幂级数
  • 幂级数

级数

一定要分清楚级数可以看作数列的前n项和，和数列极限区分开来，但是也有联系

问题列表

• 数项级数？（幂级数）
• 级数的四个性质
• 交错级数
• 任意项级数
• 幂级数

数项级数？

级数的概念

前n项和的极限；

$$\sum_i^{n} u_n = S_n \ \ \ (u_n: 通项) \\ 级数：\sum_i^{\infty} u_n = \lim_{n \to \infty}S_n$$

• 级数是一个极限：是一个数列的前n项和的极限

级数的性质

• 性质一：（收敛级数的线性组合）两个收敛的级数的线性组合收敛于其 收敛值的线性组合

  推广：

  • 收敛 加减 收敛 = 收敛

  • 收敛 加减 发散 = 发散

  • 发散 加减 发散 = 不一定

  $$\sum_i^{n} u_n = \sigma \ \ \ (u_n: 通项) \\ \sum_i^{n} v_n = s \ \ \ (u_n: 通项) \\ g \sum_i^{n} u_n + k \sum_i^{n} v_n = g \sigma + k s$$

• 性质二：改变有限项==级数==（==敛散性不变==）（去掉或者加上）

• 性质三：==收敛级数====任意加括号==，级数仍然收敛 （是将原级数重新组合）==这里不是指子级数==而是原级数的==一另一种组合==

  • 推广：加括号之后收敛 不能推出 原级数收敛

  • 注意其逆否命题$若数列的一个子列（组合）发散 \Rightarrow 原级数一定发散$

• 性质四：收敛级数通项极限为0

  • $$级数收敛 \Rightarrow 通项极限为0$$
  • $通项极限为0 \nRightarrow 级数收敛$ 调和级数

正向级数

正向级数的定义

$$\sum_i^{n} u_n = S_n \ \ \ (u_n \gt 0: 通项) \\ 正向级数：\sum_i^{\infty} u_n = \lim_{n \to \infty}S_n$$

• 正向级数首先是一个级数，其次该级数中的通项都是大于0的数
• 故正向级数中通项的前n项和即Sn 一定是单调递增的。

正向级数的收敛判别法

• 四大判别法
  • 比较
  • 比值
  • 根植
  • 积分
  • 充要条件（可以算出收敛值）

==四个判别法都是单向的==：由这四种方法来带的前置条件都是正向级数收敛的充分条件，不是必要条件，更不是充要条件。

正向级数收敛的充要条件

因为正向级数的通项前n项和单调递增：依据数列极限存在的充要条件 （单调有界定理）故只要该数列前n项和有界则 该正向级数收敛。所以$正向级数收敛 \Leftrightarrow 通项前n项和(S_n)有界$

比较判别法

一般形式：（并不需要对于所有的项都要严格大于，只需要保证 极限大于即可）

$$\exists N \gt 0 \ \ 当 n \gt N 时, \ \ \ u_n \le v_n 则(如下结论)$$

• 大收则小收
• 小散则大散

极限形式：

$$\lim_{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n} = L$$

• 同阶同敛散
• 大收则小收
• 小散则大散

比较对象：

• P级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$
• 等比数列

比值判别法（达朗贝尔【Dalembert】判别法）

$$\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \rho$$

• 计算通项的n+1 和 第n 项在n趋于无穷的时候的比值。

  • 0-1 收敛
  • ==1 不确定
  • >1 发散

• 达朗贝尔判别法的证明：

  • 证明当大于1 的时候是发散的：使用收敛级数的性质4 的逆否命题

根式判别法（Cauchy）

$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n} = \rho \\ 观察\rho的范围$$

积分判别法（P级数、对数P级数、广义P级数）

$$若 f(x) 在 x \in[1,+\infty) 非负，则\sum_n^{\infty} f(n),与\int_{1}^{\infty} f(x)dx 同敛散$$

• 讨论级数的敛散性
• 例题 2
• 例题 3

$$讨论级数 \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^\alpha \ln^p{n}} (\alpha \ge 0, p \gt 0) 的敛散性$$

对数P级数的推广

This is Tab 3.

正向收敛级数的性质

• 原级数收敛则子级数一定收敛（从中任意取出一个级数）
• 子存在任意一个子级数发散则原级数一定发散

交错级数

$$\sum_i^{n} (-1)^{N-1} u_n = S_n \ \ \ (u_n: 通项) \\ 交错级数级数：\sum_i^{\infty} (-1)^{N-1} u_n = \lim_{n \to \infty}S_n$$

Leibniz 判别法

这个判别法似乎不需要级数的通项严格单调递减：是的，更具级数的性质二，改变有限项级数的敛散性不变，那么只要我把前面的有限项改为适合后面所有的单调递减就欧克了

任意项级数

定义（绝对收敛、条件收敛）：

绝对收敛 $\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|$ 收敛则 $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ 绝对收敛

条件收敛 $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ 收敛，且$\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|$发散，则称 $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$条件收敛

绝对收敛与条件收敛的性质

绝对收敛：

• $\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|$ 收敛则 $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ 收敛

• $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ 绝对收敛， 则 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{u_n+|u_n|}{2}$ 以及 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{u_n-|u_n|}{2}$ 收敛 (条件收敛与这个相反)

  • 本质上在说，如果一个任一项级数绝对收敛，那么其中的所有==正项组成的级数==和所有==负项组成的级数==收敛

• 绝对收敛$\pm$ 绝对收敛 = 绝对收敛

• 绝对收敛$\pm$ 条件收敛 = 条件收敛
• 条件收敛$\pm$ 条件收敛 = 绝对 或者 条件收敛

幂级数

概念

$$\sum_{n=0}^{\infty}a_nX^n$$

==幂级数收敛域==

Abel Th 阿贝尔定理

收敛区间（开区间）

收敛半径 R

收敛域 （所有收敛的点组成的集合）

收敛区间 绝对收敛 收敛半径的点绝对或者条件收敛或者发散 收敛区间外部发散

寻找阿贝尔半径R：比值定理 Th （记得最后判别边界点）

==比值定理==：类似达朗贝尔判别，比值判别求出半径；适合做阶乘

==根植定理==：适合做n次方

tips: 前两个方法需要满足幂级数中的x的n次方需要连续

• 遇到$(x+k)^{(2n)}$形如此类型的幂级数怎么求收敛域
  • 整体代换 换成连续的
  • cauchy判别法

==Cauchy==：

$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|u_n(x)|} = \rho \\ 观察\rho的范围;如果等于1就带入这个值判断，小于1则一定收敛，大于1一定发散。$$

==两个幂级数之和的收敛半径==：

若$\sum_{n}^{\infty}a_{n}x^{n}$的收敛半径为1，记$\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}+1)x^{n}$的收敛半径为r,则必有：$r \geq 1.$

半径只能大不能小。减法也是如此

幂级数的展开与求和

• 幂级数的性质 $S(x) = \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$
  • $S(x)$在收敛域内连续 （和函数在收敛区间内连续）
  • $S(x)$在收敛域内逐项可导
  • $S(x)$在收敛域内逐项可积

六个常见函数的幂级数

• 指数函数 $e^{x}= \sum _{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^{n}(- \infty <x<+ \infty)$
• $$a^{x}=e^{x \ln a}= \sum _{n=0}^{\infty}\frac{(\ln a)^{n}}{n!}x^{n}(- \infty <x<+ \infty)$$
• 对数函数 $\ln(1+x)= \sum _{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n+1}x^{n+1}= \sum _{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^{n}(-1<x \leq 1)$
• $$\frac{1}{1+x}= \sum _{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}(-1<x<1)$$ $$\frac{1}{1-x}= \sum _{n=0}^{\infty}x^{n}(-1<x<1)$$
• $$\sin x= \sum _{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}x^{2n+1}(- \infty <x<+ \infty)$$
• $$\cos x= \sum _{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}x^{2n}(- \infty <x<+ \infty)$$
• $$\arctan x= \sum _{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n+1}x^{2n+1}(-1 \leq x \leq 1)$$

幂级数和一个函数在某一点的泰勒展开存在什么关系？

综上所述：如果我们处理问题需要泰勒展开时，只要x的取值在X)泰勒展开的收敛域内，那么直接
把(X)替换成它的泰勒展开完全没问题。¹

幂级数的展开和求和

幂级数求和的逆问题；

• 求收敛域
• 先导后积，先积后导

阿贝尔定理只是充分条件。

傅里叶级数

==傅里叶级数定义==：

前提：设函数$f(x)$是以$2l$ 为周期的可积函数，在区间$[-l,l]$上

$$\begin{cases} &a_{n}= \frac{1}{l}\int _{-l}^{l}f(t)\cos(\frac{n \pi}{l} t)dt & a_{n}= \frac{2}{T}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)\cos(n \omega t)dt \\ &b_{n}= \frac{1}{l}\int _{-l}^{l}f(t)\sin(\frac{n \pi}{l} t)dt & b_{n}= \frac{2}{T}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)\sin(n \omega t)dt\\ \end{cases}$$ $$\omega = \frac{2\pi}{T} \ \ \ \ T = 2l \\ f(x)= \frac{a_{0}}{2}+ \sum _{n=1}^{\infty}\left[ a_{n}\cos(\frac{n \pi}{l} t)+b_{n}\sin(\frac{n \pi}{l} t)\right]$$

==注意奇偶延拓==：

==迪利克雷收敛定律==：

设函数$f(x)$是以$2l$ 为周期的可积函数，在区间$[-l,l]$上满足：

• 在区间上连续，且有有限个第一类间断点。
• 有有限个极值（不能无限次振动）

$$f(x) = \begin{cases} &f(x) \ \ &x非间断点处，非边界 \\ &\frac{f(x^-)+f(x^+)}{2} \ \ &x在间断点或者边界 \\ \end{cases}$$

级数中的常见变换

设：$a_{n}>0,b_{n}>0(n=1,2, \cdots)$且满足$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\leq \frac{b_{n+1}}{b_{n}},(n=1,2, \cdots)$

¹. 泰勒展开判断数项级数收敛 - 知乎 (zhihu.com) ↩