2023

04-16

高等数学级数专题

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级数

一定要分清楚级数可以看作数列的前n项和，和数列极限区分开来，但是也有联系

级数的概念

级数的收敛和发散

级数的性质

  • 性质一：

  • 性质二：

  • 性质三：

  • 性质四：

正向级数

正向级数的收敛判别法

  • 四大判别法
    • 比较
    • 比值
    • 根植
    • 积分

正向级数收敛的充要条件

如果一个级数数列为正向级数且收敛，那么他的前n项和有界；反之如果一个正向数列其前n项和有界，那么这个正向级数收敛。

比较判别法

  • 大收则小收
  • 小散则大散

极限形式：

  • 同阶同敛散
  • 大收则小收
  • 小散则大散

比较对象：

  • P级数
  • 等比数列

比值判别法（达朗贝尔【Dalembert】判别法）

  • 达朗贝尔判别法的证明：

根式判别法（Cauchy）

积分判别法（P级数、对数P级数、广义P级数）