考研数学（概率论部分，第三章）学习

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第二章中的所有的概率分布的类型一定还要特别熟悉！！！

二维随机变量及其分布

定义

二维随机变量的定义

二维随机变量的定义 设$X=Y(\omega),Y=Y(\omega)$为样本空间Ω上的两个随机变量，称(X，Y)为二维随机变量

联合（二维）分布函数的定义

联合分布函数的定义 设(X，Y)为二维随机变量，对任意实数x，y,称$F(x,y)=P \left\{ X \leq x,Y \leq y\right\}$为(X,Y)的联合分布函数，简称分布函数。可以将其中的$P \left\{ X \leq x,Y \leq y\right\}$看作是 $P(AB),\ \ \ A\sim X \leq x \ \ \ B \sim Y \leq y$

边缘分布函数的定义

设二维随机变量(X，Y)的联合分布函数为F(x，y),分别称

$$F_{X}(x)=P \left\{ X \leq x \right\} =P \left\{ X \leq x,Y \leq + \infty \right\} =F(x,+ \infty) \\ F_{Y}(y)=P \left\{ Y \leq y \right\} =P \left\{ X \leq + \infty ,Y \leq y \right\} =F(+ \infty ,y)$$

为(X，Y)关于X和Y的边缘分布函数.

独立性的充要条件

如果联合分布函数中 边缘分布函数的乘积等于联合分布函数的乘积那么就是两个独立事件。

性质 5（构成充要条件）

• 非负性
• 规范性$F(- \infty ,y)=F(x,- \infty)=F(- \infty ,- \infty)=0,F(+ \infty ,+ \infty)=1;$
• 单调不减
• 右连续
• 计算 $P \left\{ a<X \leq b,c<Y \leq d \right\} =F(b,d)-F(b,c)-F(a,d)+F(a,c)$矩形域。想想前缀和。

• 例题
• 如何快速判断一个函数是否是一个一维的分布函数

【例3.1】下列四个函数哪个不能作为联合分布函数

$$(A) F_{1} (x,y)= \begin{cases} (1-e^{-x})(1-e^{-y}),x>0,y>0 \\ 0, 其他 \end{cases}$$ $$(B) F_{2}(x,y)= \frac{1}{\pi ^{2}}(\frac{\pi}{2}+ \arctan \frac{x}{2})(\frac{\pi}{2}+ \arctan \frac{y}{3})$$ $$(C) F_{3} $$(x,y)=$$\left\{ \begin{matrix} 1,x+2y \geq 1 \\ 0,x+2y<1 \end{matrix} \right.$$ $$(D) F_{4} (x,y)= \begin{cases} 1-2^{-x}-2^{-y}+2^{-x-y} , x>0 ,y \geq 0 \\ 0，其他 \end{cases}$$

使用分布函数的四条性质（充要条件）

非负性、规范性、右连续、单调不减

二维离散型随机变量

定义

一定要分清 概率分布和分布函数之间的关系，（离散中，概率分布是点，一个特殊的样本点出现的概率） 而分布函数是一个样本几何的出现概率

联合概率分布

联合概率分布的定义 设二维随机变量(X，Y)的取值为有限个或可列个，称(X，Y)为二维离散型随机变量.设(X，Y)的取值为( $x_{1}$，$y_{j}$),i$j=1,2$，…,称$P \left\{ X=x_{i},Y=y_{j}\right\} =p_{i,},i,j=1,2$…为(X，Y)的联合概
率分布，简称概率分布，也可用列表法表示.

简记：一张表！

边缘概率分布

边缘概率分布的定义 设二维随机变量(X，Y)的联合概率分布为

$$P \left\{ X=x_{i},Y=y_{j}\right\} =p_{ij},i,j=1,2, $$，...,分别称 $$ p_{i}.=P \left\{ X=x_{i}\right\} = \sum p_{ij},i=1,2,\cdots$$ $$p_{ij}=P \left\{ Y=y_{j}\right\} = \sum _{ij},j=1,2,\cdots$$

为(X，Y)关于X和Y的边缘概率分布.

简记表中的一行或者一列。

条件概率分布的定义

条件概率分布的定义 设二维随机变量(X，Y)的联合概率分布为

$$P \left\{ X=x_{i},Y=y_{j}\right\} =p_{ij},i,j=1,2\cdots $$称$$ P \left\{ X=x_{i}|Y=y_{j}\right\} = \frac{P_{ij}}{p_{\bullet j}} $$为在$$ Y=y_{j} $$的条件下，X的条件概率分布;称$$ P \left\{ Y=y_{j}|X=x_{i}\right\} = \frac{p_{ij}}{p_{i\bullet}} $$为在$$ X=x_{i} $$的条件下，Y的条件概率分布. ## 性质 # 二维连续 ## 定义 ### 联合概率密度定义 ==定义==：设二维随机变量$$(X,Y)$$的联合分布函数为$$F(x,y)$$,若存在非负可积函数$$f(x,y)$$,对任意实数$$x,y$$,有$$F(x,y)= \int _{- \infty}^{x}du \int _{- \infty}^{y}f(u,v)dv$$则称$$(X,Y)$$为二维连续型随机变量，$$f(x,y)$$为$$(X,Y)$$的联合概率密度，简称概率密度。 > 若$$f(x,y)$$连续，则$$\frac{\partial ^{2}F(x,y)}{\partial x \partial y}=f(x,y)$$

边缘概率密度的定义

条件概率密度的定义

条件概率密度的定义 设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为f(x，y),称$f_{X|Y}(x|y)= \frac{f(x,y)}{f_{Y}(y)}$
为在$Y=y$的条件下，X的条件概率密度;称$f_{\gamma |x}(y|x)= \frac{f(x,y)}{f_{x}(x)}$为在$X=x$的条件下，Y的条件概率密度.

性质

• 非负性
• 规范性
• 计算随机变量取值的概率 $P \left\{(X,Y)\in D \right\} = \int \int f(x,y)dxdy.$

性质(1)，(2)是判定概率密度的充要条件;性质(3)用于计算随机变量取值的概率

随机变量的独立性

定义

随机变量相互独立的定义 设二维随机变量(X，Y)的联合分布函数为F(x，y),边缘分布函数分别为$F_{x}(x)$和 $F_{1}$(y),若对任意实数x，y,有$F(x,y)=F_{X}(x)F_{Y}(y)$，则称随机变量X与Y相互独立.

充要条件

$$X与Y相互独立 \\ \begin{matrix} & \Leftrightarrow F(x,y)=F_{x}(x)F_{Y}(y) \\ & \Leftrightarrow p_{ij}=p_{i\bullet}p_{\bullet j} \\ & \Leftrightarrow f(x,y)=f_{x}(x)f_{Y}(y) \end{matrix}$$

二维均匀分布与二维正态分布

二维均匀分布

设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为

$$f(x,y)= \begin{cases} \frac{1}{S_{D}},(x,y)\in D \\ 0,其他 \\ \end{cases}$$

称(X，Y)服从区域D上的均匀分布，记作(X，Y)~U(D)

二维均匀分布性质（充要条件）

设$(X,Y)\sim U(a,b)\times(c,d) \ \ \ \Leftrightarrow$，则$X \sim U(a,b),Y \sim U(c,d)$，且X与Y相互独立. 【两个一维的均匀分布（相互独立）的联合随机变量复合其两个区间组成的矩形】

二维正态分布

设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为

$$f(x,y)= \frac{1}{2 \pi \sigma _{1}\sigma _{2}\sqrt{1- \rho ^{2}}}e^{-\frac{1}{2(1- \rho ^{2})}\left[(\frac{x- \mu _{1}}{\sigma _{1}})^{2}- \frac{2 \rho(x- \mu _{1})(y- \mu _{2})}{\sigma _{1}\sigma _{2}}+(\frac{y- \mu _{2}}{\sigma _{2}})^{2}\right] }$$

其中$\sigma _{1}>0, \sigma _{2}>0,| \rho |<1$，称(X，Y)服从参数为 $\mu _{1}$，$\mu _{2}$，$\sigma _{1}$，$\sigma _{2}$，p的二维正态分布，记
(X,Y)~N( $\mu _{1}$，$\mu _{2}$; $\sigma _{1}^{2}$，$\sigma _{2}^{2}$;ρ)

二维正态分布的性质 :imp:

• 设$(X，Y)\sim N( \mu _{1} ，\mu _{2} ; \sigma _{1}^{2} , \sigma _{2}^{2} ;\rho)$,则 $X\sim N( \mu _{1} ， \sigma _{1}^{2} ),Y\sim N( \mu _{2} ， \sigma _{2}^{2} )$,反之不成立;

• X与Y相互独立X与Y不相关$(\rho =0$);

• ==相互独立的正态分布的线性组合任然为正态分布==

  $$aX+bY \sim N(a \mu _{1}+b \mu _{2},a^{2}\sigma _{1}^{2}+b^{2}\sigma _{2}^{2}+2ab \rho \sigma _{1}\sigma _{2});$$

  特别的若X与Y相互独立，X~N( $\mu _{1}$，$\sigma _{1}^{2}$),Y~N( $\mu _{2}$，$\sigma _{2}^{2}$),则

• 若$U=aX+bY,V=cX+dY$，即
  $\begin{pmatrix}U \\ V \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a &b \\ c & d \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X \\ Y \\ \end{pmatrix}$，则(U，V)服从二维正态分布，二维正太经过可逆线性变换任然为二维正态。

  但是UV 的相关系数不等于XY之间的相关系数

• 两个边缘概率分布仍然为正态分布,

二维随机变量函数的分布

二维离散型

二维连续型随机变量函数的分布

设二维随机变量$(X,Y)$的联合概率密度为$f(x,y)$,求$Z=g(X,Y)$的概率密度

• 分布函数法
  • 设Z的分布函数为$F_{Z}(z)$ 则$F_{z}(z)=P \left\{ Z(X,Y)\leq z \right\} =P \left\{ g(X,Y) \leq z\right\}$
  • 求$Z=g(X,Y)$ 在$(X,Y)$的正概率密度区域的值域$\left[ \alpha , \beta \right]$，讨论z：
    • 当$z<\alpha$时 $F_{Z}(z)=0$
    • 当$a \leq z < \beta$时，$F_{Z}(z)= \int \int _{g(x,y)\leq z}f(x,y)dxdy$
    • 当$z \geq \beta$时，$F_{z}(z)=1$
  • Z的概率密度为$f_{Z}(z)=F_{Z}^{\prime}(z)$
• 卷积公式
  • 设$Z=aX+bY$， 则$f_{z}(z)= \int _{- \infty}^{+ \infty}\frac{1}{|b|}f(x, \frac{z-ax}{b})dx= \int _{- \infty}^{+ \infty}\frac{1}{|a|}f(\frac{z-by}{a},y)dy$

最值函数的分布 max() min()

• MAX 函数的一些特性：

设$X_{1},X_{2}, \cdots ,X_{n}$相互独立，分布函数分别为$F_{X_{1}}(x),F_{X_{2}}(x), \cdots ,F_{X_{n}}(x)$则$max \left\{ X_{1},X_{2}, \cdots ,X_{n}\right\}$的
分布函数为：

$$X_{1},X_{2}, \cdots ,X_{n}独立\begin{cases} &(1) F_{\max}(x)=P \left\{ \max \left\{ X_{1},X_{2}, \cdots ,X_{n}\right\} \leq x \right\} =P \left\{ X_{1}\leq x,X_{2}\leq x, \cdots ,X_{n}\leq x\right\} \\ & \ \ =P \left\{ X_{1}\leq x \right\} P \left\{ X_{2}\leq x \right\} \cdots P \left\{ X_{n}\leq x \right\} =F_{X_{1}}(x)F_{X_{2}}(x)\cdots F_{X_{n}}(x) \\ &(2) F_{\max}(x)=P \left\{ \max \left\{ X_{1},X_{2}, \cdots ,X_{n}\right\} \gt x \right\} =1 - P \left\{ \max \left\{ X_{1},X_{2}, \cdots ,X_{n}\right\} \leq x \right\} \\ & \ \ =1- P \left\{ X_{1}\leq x,X_{2}\leq x, \cdots ,X_{n}\leq x\right\} \end{cases}$$

如果不独立：

$$F_{\max}(x)=P \left\{ \max \left\{ X_{1},X_{2}, \cdots ,X_{n}\right\} \leq x \right\} =P \left\{ X_{1}\leq x,X_{2}\leq x, \cdots ,X_{n}\leq x\right\} \\ F_{\max}(x)=P \left\{ \max \left\{ X_{1},X_{2}, \cdots ,X_{n}\right\} \gt x \right\} =1 - P \left\{ \max \left\{ X_{1},X_{2}, \cdots ,X_{n}\right\} \leq x \right\} \\ =1- P \left\{ X_{1}\leq x,X_{2}\leq x, \cdots ,X_{n}\leq x\right\} \\ =P\{ (X_1 > x)\cup(X_2>x)\cdots\cup(X_n>x) \}$$

真理：

$$Max(X,Y)+Min(X,Y) = X+Y \\ E(Max(X,Y))+E(Min(X,Y)) = E(X+Y) \\ 同理：Max(X,Y)\cap Min(X,Y) = X\cap Y \\ E(Max(X,Y)\cap Min(X,Y)) = E(X\cap Y) \\ 特别的注意：E(Max(X,Y)\cap Min(X,Y))\neq E(Max(X,Y))E( Min(X,Y))$$ $$Max(X,Y) = \frac{X+Y+|X-Y|}{2} \\ Min(X.Y) = \frac{X+Y-|X-Y|}{2}$$

多变量组合一起判断是否同分布？

• 离散：

  一般不能同分布，特别是组合