2023

04-21

微分方程初步复习

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微分方程

可分离
一节齐次
一阶线性
Bernoulli
全微分

一阶微分方程

一阶微分方程的概念

微分方程：含有未知函数的放曾

微分方程的阶：未知函数的导数的最高阶数

微分方程的解：满足微分方程的函数

微分方程的解：含有与微分方程阶数相同个数的、任意常数的解

一阶微分方程的解法

可分离变量（题型方法论）

形式：

$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$

怎么做你懂的。

推论

$\frac{dy}{dx} = f(ax+by+c) \\ asume: \ u = ax+by+c ,\ \ \ then \ \ \ \frac{du}{dx} = a+b\frac{dy}{dx} , then \ \ \frac{du}{dx} = a+bf(u).$

一阶齐次

$\frac{dy}{dx} = f(\frac{y}{x}) \ \ 整体代换。$

一阶线性

一阶线性齐次

一阶线性非齐次

二阶微分方程

二阶常系数线性

二阶可降阶

欧拉

差分（数三）

二阶线性方程解的性质与结构

二阶线性微分方程的形式：

$y'' +p(x) y'+ q(x)y = f(x)$

性质：

$y_1 y_2$ 为齐次微分方程的解则 $c_1y_1+c_2y_2$ 也是解齐次方程解线性组合仍然为解。
$y_1^* y_2^*$ 为非齐次微分方程的解，则 $y_1^* - y_2^*$ 为齐次微分方程的解
$y$ 为齐次方程的解 $y^*$ 为非齐次方程的解 $y+y*$ 为非齐次微分方程的解

解的结构

$y_1 y_2$ 两个二阶齐次方程的无关的解，齐次方程的通解为 $c_1y_1+c_2y_2$ 为二阶齐次线性微分方程的通解
$y_1 y_2$$两个二阶齐次方程的无关的解，$$y*$$ 为非齐次方程的特解，则非齐次方程的通解为 $$c_1y_1+c_2y_2+y^*$
叠加原理
$若 y_1^* 为 y'' +p(x) y'+ q(x)y = f_1(x) 的特解 \\ y_2^* 为 y'' +p(x) y'+ q(x)y = f_2(x) 的特解 \\ 则y_1^*+y_2^* 为y'' +p(x) y'+ q(x)y = f_2(x)+f_1(x)的特解$

二阶常系数

二阶常系数线性齐次¹

解线性方程

二阶常系数线性非齐次

$y'' +py'+ qy = f(x)$

二阶常系数线性齐次+特解

$f(x) = e^{\lambda x}P_m(x), m是方程P(x)的最高次数$
求特解：设 $y^*= x^k e^{\lambda x}Q_m(x),m是上述方程P(x)的最高次数,k是特征方程中根的重数$
$f(x) = e^{\alpha x}[P_m(x)\cos(\beta x)+P_n(x)\sin(\beta x)],m、n分别是方程P_m(x)、P_n(x)的最高次数$
求特解：
$y^*= x^k e^{\alpha x}[Q_l(x)\cos(\beta x) + Q_l(x)\sin(\beta x)],l = \max(m,n),k = \begin{cases} & 1, \alpha \pm \beta i也是齐次方程的共轭复数 \\ & 0 \\ \end{cases}$

n阶微分方程

¹. 常系数二阶线性齐次微分方程的求解 - 知乎 (zhihu.com) ↩