2023

04-21

  • 微分方程初步复习

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微分方程

  • 可分离
  • 一节齐次
  • 一阶线性
  • Bernoulli
  • 全微分

一阶微分方程

一阶微分方程的概念

微分方程:含有未知函数的放曾

微分方程的阶:未知函数的导数的最高阶数

微分方程的解:满足微分方程的函数

微分方程的解:含有与微分方程阶数相同个数的、任意常数的解

一阶微分方程的解法

可分离变量(题型方法论)

形式:

怎么做你懂的。

推论

一阶齐次

一阶线性

一阶线性齐次

一阶线性非齐次

二阶微分方程

二阶常系数线性

二阶可降阶

欧拉

差分(数三)

二阶线性方程解的性质与结构

二阶线性微分方程的形式:

性质:

  • 为齐次微分方程的解则 也是解 齐次方程解线性组合仍然为解。
  • 为非齐次微分方程的解,则 为齐次微分方程的解
  • 为齐次方程的解 为非齐次方程的解 为非齐次微分方程的解

解的结构

  • 两个二阶齐次方程的 无关的解,齐次方程的通解为 为二阶齐次线性微分方程的通解

  • 叠加原理

二阶常系数

二阶常系数线性齐次1

讨论特征值解的三种情况。

解线性方程

二阶常系数线性非齐次

二阶常系数线性齐次+特解

  • 求特解:设

  • 求特解:

n阶微分方程

问题

  • 微分方程最后求特解,需不需要化简?
  • 微分方程最后解的范围,以及,某些函数的积分最后可能带有绝对值形式。

欧拉方程

什么是欧拉方程?

欧拉方程的形式

==变系数线性微分方程==

形如:的微分方程为欧拉方程

求解欧拉方程

==换元==:为了解这个方程,此处令 再将自变量x换成t

==定义微分算子==:用记号D表示对t求导的运算,即D表示是

==推导每一项==:

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