2023

04-22

第四章：数字特征

期望
方差
协方差
相关系数

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期望 E
方差 D
协方差 Cov $\rho$

期望与方差

期望定义

一维离散

设随机变量X的概率分布为 $P \left\{ X=x_{i}\right\} =p_{i},i=1,2$ ，…,则 $EX= \sum x_{i}p_{i}$

推广：若 $Y=g(X)$ ，则 $EY= \sum g(x_{i})p_{i}.$

一维连续

设随机变量X的概率密度为f(x)，则 $EX= \int _{- \infty}^{+ \infty}xf(x)dx;$

推广若 $Y=g(X)$ ，则 $EY= \int _{- \infty}^{+ \infty}g(x)f(x)dx;$

二维离散

设二维随机变量(X，Y)的联合概率分布为 $P \left\{ X=x_{i},Y=y_{j}\right\} =p_{ij},i,j=1,2,\cdots$

$Z=g(X,Y) $$，则$$ EZ= \sum \sum g(x_{i},y_{j})p_{ij};$

二维连续

设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为f(x，y) $Z=g(X,Y)$ ，则 $EZ= \int _{- \infty}^{+ \infty}\int _{- \infty}^{+ \infty}g(x,y)f(x,y)dxdy.$ +0
特别地， $EX= \int _{- \infty}^{+ \infty}\int _{- \infty}^{+ \infty}xf(x,y)dxdy,EY= \int _{- \infty}^{+ \infty}\int _{- \infty}^{+ \infty}yf(x,y)dxdy$

期望性质

$E(aX+bY+c)=aEX+bEY+c;$
$E(XY)=EX \cdot EY \Leftrightarrow X$ 与Y不相关;

特别地，若X与Y相互独立，则 $\Rightarrow E(XY)=EX \cdot EY$ . b

方差的定义

$DX=E(X-EX)^{2}=EX^{2}-(EX)^{2} \ \ \ Deviation ：平方的期望减去期望的平方$

==方差性质的逆用==: 前提方差DX 可以被很容易地求出。

主要求 $EX^2 = DX+(EX)^2$

方差的性质

$D(aX+c)=a^{2}DX$ ; 系数平方常数忽略。
$D(X \pm Y)=DX+DY \pm 2Cov(X,Y);$
推论 $D(X \pm Y)=DX+DY \Rightarrow X$ 与 $Y$ 不相关;
特别地，若X与Y相互独立，则 $D(X+Y)=DX+DY$
若X与Y相互独立，则 $D(XY)=DX \cdot DY+(EX)^{2}DY+(EY)^{2}DX$ :exclamation:

这里与第三章的随机变量的独立性的充要条件相互联系

==求 $EX^2$ 可以使用方差的定义求

八大分布的期望与方差

分布	记号	期望	方差
0-1 分布	$B(1,p)$	$p$	$p(1-p)$
二项分布	$B(n,p)$	$np$	$np(1-p)$
==Poisson分布==	$P(\lambda)$	$\lambda$	$\lambda$
几何分布	$G(p)$	$\frac{1}{p}$	$\frac{1-p}{p^{2}}$
超几何分布	$H(N,M,n)$	$\frac{nM}{N}$	$\frac{nM}{N}(1- \frac{M}{N})(\frac{N-n}{N-1})$
均匀分布	$U(a,b)$	$\frac{a+b}{2}$	$\frac{(b-a)^{2}}{12}$
==指数分布==	$E(\lambda)$	$\frac{1}{\lambda}$	$\frac{1}{\lambda ^{2}}$
Gauss分布（正态分布）	$N(\mu, \sigma ^{2} )$	$\mu$	$\sigma ^{2}$

协方差与相关系数

协方差定义

$Cov(X,Y)=E \left[(X-EX)(Y-EY)\right] =E(XY)-EX \cdot EY$

乘积的期望减去期望的乘积

协方差的性质

$\begin{cases} Cov(X,Y)=Cov(Y,X) & (1)\\ Cov(X,X)=DX & (2) \\ Cov(aX+bY+c,Z)=aCov(X,Z)+bCov(Y,Z) & (3) \\ Cov(X+a,Y+b)=Cov(X,Y) & (4) \\ Cov(aX,bY)=abCov(X,Y) & (5) \end{cases}$

推广：

$已知 U = aX+b , V = cY+d \ \ 则 \ \ Cov(U,V) = Cov(aX+b,V) = aCov(X,V) = aCov(X,cY+d) = acCov(X,Y)$

例4.6设随机变量 $X_{1} ， X_{2} ，..., X_{n}$ 相互独立同分布，方差 $\sigma ^{2}>0$ .若 $Y= \frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}X_{i}$
则【】
(A) $Cov(X_{1},Y)= \frac{\sigma ^{2}}{n}$ (B) $Cov(X_{1},Y)= \sigma ^{2}$
(C) $D(X_{1}+Y)= \frac{n+2}{n}\sigma ^{2}$ (D) $D(X_{1}-Y)= \frac{n+1}{n}\sigma ^{2}$

对A B选项使用协方差的性质二，进行计算，对CD使用方差的性质一和性质二，进行计算

$由于Y= \frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}X_{i} \ \ 故 \\ X+Y = \frac{1+n}{n} X_1 + \frac{1}{n}\sum _{i=2}^{n}X_{i} \\ X-Y = \frac{n-1}{n} X_1 + \frac{1}{n}\sum _{i=2}^{n}X_{i} \\ 又X_{1} ， X_{2} ，..., X_{n}相互独立同分布，所以对应的方差就可以使用方差性质二（对相互独立事件的方差的计算方法）来计算。$

两个随机变量同分布

假设X Y同分布，那么这俩分布（函数）一样，概率密度（概率分布）一样，期望，方差，与其他变量的协方差一样。在一个随机变量函数中同时出现即==可互换==

考研数学（概率论部分，第四章）学习