2023

04-12

微分部分知识点的构建

04-13

导数应用

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一元函数微分学

1.1 导数与微分

导数定义

$\begin{align} & (1) 函数在某一个点x_0上的导数, f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)- f(x_0)}{\Delta x} = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)- f(x_0)}{x} \\ & (2) 右导数, f'_+(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(x_0+\Delta x)- f(x_0)}{\Delta x} = \lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x)- f(x_0)}{x} \\ & (3) 左导数, f'_-(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(x_0+\Delta x)- f(x_0)}{\Delta x} = \lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x)- f(x_0)}{x} \\ & (4) 导(函)数,f(x) = = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)- f(x)}{\Delta x} \\ & (5) 高阶导数, f^{(n)}(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f^{(n-1)}(x_0+\Delta x) - f^{(n-1)}(x_0)}{\Delta x},\\ & 该定义说明了:如果函数f(x)在x_0处存在n阶导数(存在n阶导数)，那么必然的: f^{(n-1)}(x),在某\mathring{U}(x_0)处有定义，即在某\mathring{U}(x_0) 内n-1阶可导 \end{align}$

可导的充要条件

根据导数的定义（导数实际上是极限）所以可导的充要条件和极限的充要条件差不多。

为什么可导的充要条件中不去定义 $F'(x_0)存在$ ：

$根据定义：f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0};\\ 其中并没有定义f'(x_0)$

该点导数存在不能直接说名该点的导数存在，只有当导函数满足连续条件后才能定义出该点的导数是多少。

可导其实是导函数的极限？：经典错误！答案是否定的

$f(x) = x^2\sin(\frac{1}{x}) \ \ 在x = 0处导数存在但是导函数极限不存在$

可导的必要条件

可导必连续

导数的几何意义

变化率，切线、法线

导数极限定理

如果 $f(x)$ ==在 $x_0$ 的邻域内连续==，==在 $x_0$ 的去心领域内可导==，且==导函数==在 $x_0$ 处的==极限存在==，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的导数也存在并且等于导函数的极限。

1.2 微分

微分定义

$对于函数y = f(x),在x = x_0 处满足 \Delta y = A\Delta x+o(\Delta x),即称f(x)在x_0处可微 \\ 记dy = A\Delta x \ (线性主部) , dx = \Delta x, (请记住)dy \neq \Delta y$

由微分的定义以及导数的定义可知:此处的 $A\Delta x ,即微分中的线性主部中的A=f'(x_0)$ 具体推导如下

$由导数的定义,f(x)在x_0处的导数f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{\Delta y}{\Delta x},\\ 由微分定义知道\Delta y = A\Delta x+o(\Delta x),故\\ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{x \to x_0} \frac{A\Delta x+o(\Delta x)}{\Delta x} = \lim_{x \to x_0} A+\frac{o(\Delta x)}{\Delta x} = A$

关于极限连续导数的三个重要结论

分式极限存在,且分母极限为0,则分子极限为0
分式极限存在且不为0时,分子极限为0,则分母极限也为0
如果分子在该点处连续,且分母为0,则分子在该点处的取值为0;
一个重要的结论
$f(x) = (x-x_0)^n|x-x_0| 该函数n阶可导n+1阶不可导$

$设函数f(x) = 3x^3+2x^2|x|,问该函数几阶可导$

$设函数f(x) = (x^2-x-2)|x^3-x|,问该函数有几个不可导的点.$

基本函数求导

上文

四则运算的求导

基础啊

复合函数求导

链式法则

隐函数求导

法一: 带入求导
法二: 公式法
法三: 全微分

例题:

$y = y(x), 由y = \tan(x+y),确定,求y'(x), y''(x)$

反函数的求导

反函数存在的前提: 函数可导且单调

$y = \Phi(x),设其反函数 x = \Phi^{-1}(y),则有如下: \\ {\Phi^{-1}}'(y) = \frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} = \frac{1}{\Phi'(x)} \\ {\Phi^{-1}}''(y) = \frac{d^2x}{dy^2} = \frac{\frac{d\frac{dy}{dx}}{dx}}{\frac{dy}{dx}} = -\frac{\Phi''(x)}{\Phi'(x)^3} \\$

:exclamation: ==特别注意求三角函数的反函数不能用上述方法，因为三角函数不满足单调==

$39 设 y=y(x) 在 (-1,1) 二阶可导, 满足方程: \left(1-x^2\right) \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}-x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+a^2 y=0, 作变量替换 x=\sin t 后, y 作为 t的函数满足的方程是$

$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t} \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} x}=\frac{1}{\cos t} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t} \ \ 这里\frac{dt}{dx} \neq \frac{1}{\frac{dx}{dt}} \ \ 因为三角函数并不满足单调性$

$方法 2 y=y(x) 也是 y 作为 t 的函数与 t=\arcsin x 的复合函数, 由复合函数求导法得\\ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t} \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} x}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}, x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t} 再对 x 求导得\\ \begin{gathered} \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}=\frac{1}{\left(1-x^2\right)} \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} t^2}+\frac{x}{\left(1-x^2\right)^{\frac{3}{2}}} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t} \\ \left(1-x^2\right) \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}=\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} t^2}+\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} t^2}+x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} \end{gathered}\\ 由原方程得 \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} t^2}+a^2 y=0$

参数方程的求导

链式法则

对数求导

解决如下问题:

解决幂指函数
对各因式积商 \ 开方

例如:

$y = (1+x^2)^{\sin x},求y'\\ y = \sqrt[3]{\frac{(x+1)(x+2)}{x(1+x^2)}}$

方法:

恒等变形
对数求导

高阶导数

常见高阶导数公式⁴:

奇偶性
递推公式
Leibniz公式
Taylor公式: taylor公式中系数的唯一性

1.3 导数应用

导数应用涉及内容

两点
- 极值点
- 拐点
两性
- 单调性
- 凹凸性
两线
- 切线、法线
- 渐近线
不等式
方程的根

1.3.1 单调性与极值点

单调性的定义

单调性的充分条件（充分条件！如果你想推导这个函数单调可以通过这个方法）

$若x \in I, and \ f'(x) \gt 0 \Rightarrow 函数f(x)单调递增(反之递减) \\ (1) 函数的一阶导函数可以不存在吗？例如为正无穷\\ (2) 补充：(这个条件不能做充要条件的原因之一) 个别点导数为0 不影响函数的单调性。$

极值的定义

极小值定义
$存在一个U(x_0,\delta),f(x)在该邻域内有定义,且f(x)\gt f(x_0) \Rightarrow f(x_0)为极小值$
极大值定义
$存在一个U(x_0,\delta),f(x)在该邻域内有定义,且f(x)\lt f(x_0) \Rightarrow f(x_0)为极大值$

注意点：

极值不一定是最值，最值不一定是极值

在区间内部的最值是极值，连续函数唯一的极值是最值。

极值的必要条件（Fermat 引理）

==可导的==极值点导数为0（涉及到两个定义：可导的定义、极值点的定义）

$若该点为极值，且函数连续并且可导，则f'(x_0) = 0$

极值的充分条件

充分条件一
充分条件二
- 充分二还有推论。

关于极值点的定义、必要条件、充分条件的一点理解

极值点的定义中没有提及：1、该点附近是否是==连续==或者==间断== 2、该点处是否可导

如果可导->

1.3.2 凹凸性

凹凸性的定义

$若\forall x_1,x_2 \in I, 有f(\frac{x_1+x_2}{2})\lt \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2},则为凹函数，否则为凸函数$

凹凸函数的充分条件

二阶导数的符号可知凹凸性
一阶导数=0，二阶导数不等于0 可知凹凸性
- 推导 n阶导数的取值与凹凸性

1.3.3 拐点

定义：

凹凸函数的转折点：一边凹一边凸

注意：问极值点：写横坐标；问极值：写纵坐标；问拐点：横纵坐标都写

拐点的必要条件

二阶可导的拐点该点处的二阶导数为0

拐点的充分条件（类似极值点的充分条件）

拐点的充分条件一
充分条件二
- 推论

1.3.4 渐近线

水平渐近线
斜渐近线
垂直渐近线

反三角函数公式

$\arcsin(x)+\arccos(x) = \frac{\pi}{2} \\ \arctan(x) +\arccot(x) = \frac{\pi}{2} \\ \arctan(x) +\arccot(\frac{1}{x}) = \begin{cases} \frac{\pi}{2} , &x \gt 0 \\ -\frac{\pi}{2} , &x\lt 0 \end{cases} \\$

1.3.5 证明不等式

化简构造辅助函数
求导得到单调区间
带入端点证明不等式—该函数在区间内符合该不等式（恒大于0 或者恒小于0）