考研数学（高数部分，第二章）复习

2023

04-12

• 微分部分知识点的构建

04-13

• 导数应用

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一元函数微分学

1.1 导数与微分

导数定义

$$\begin{align} & (1) 函数在某一个点x_0上的导数, f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)- f(x_0)}{\Delta x} = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)- f(x_0)}{x} \\ & (2) 右导数, f'_+(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(x_0+\Delta x)- f(x_0)}{\Delta x} = \lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x)- f(x_0)}{x} \\ & (3) 左导数, f'_-(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(x_0+\Delta x)- f(x_0)}{\Delta x} = \lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x)- f(x_0)}{x} \\ & (4) 导(函)数,f(x) = = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)- f(x)}{\Delta x} \\ & (5) 高阶导数, f^{(n)}(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f^{(n-1)}(x_0+\Delta x) - f^{(n-1)}(x_0)}{\Delta x},\\ & 该定义说明了:如果函数f(x)在x_0处存在n阶导数(存在n阶导数)，那么必然的: f^{(n-1)}(x),在某\mathring{U}(x_0)处有定义，即在某\mathring{U}(x_0) 内n-1阶可导 \end{align}$$

可导的充要条件

根据导数的定义（导数实际上是极限）所以可导的充要条件和极限的充要条件差不多。

为什么可导的充要条件中不去定义$F'(x_0)存在$：

$$根据定义：f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0};\\ 其中并没有定义f'(x_0)$$

该点导数存在不能直接说名该点的导数存在，只有当导函数满足连续条件后才能定义出该点的导数是多少。

可导其实是导函数的极限？：经典错误！ 答案是否定的

$$f(x) = x^2\sin(\frac{1}{x}) \ \ 在x = 0处导数存在但是导函数极限不存在$$

可导的必要条件

可导必连续

导数的几何意义

变化率，切线、法线

导数极限定理

如果 $f(x)$==在 $x_0$的邻域内连续==，==在 $x_0$的去心领域内可导==，且==导函数==在 $x_0$ 处的==极限存在==，则 $f(x)$在 $x_0$处的导数也存在并且等于导函数的极限。

导函数的极限不一定等于函数在该点的导数

1.2 微分

微分定义

$$对于函数y = f(x),在x = x_0 处 满足 \Delta y = A\Delta x+o(\Delta x),即称f(x)在x_0处可微 \\ 记dy = A\Delta x \ (线性主部) , dx = \Delta x, (请记住)dy \neq \Delta y$$

由微分的定义以及导数的定义可知:此处的$A\Delta x ,即微分中的线性主部中的A=f'(x_0)$ 具体推导如下

$$由导数的定义,f(x)在x_0处的导数f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{\Delta y}{\Delta x},\\ 由微分定义知道\Delta y = A\Delta x+o(\Delta x),故\\ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{x \to x_0} \frac{A\Delta x+o(\Delta x)}{\Delta x} = \lim_{x \to x_0} A+\frac{o(\Delta x)}{\Delta x} = A$$

关于极限 连续 导数的三个重要结论

• 分式极限存在,且分母极限为0,则分子极限为0

• 分式极限存在且不为0时,分子极限为0,则分母极限也为0

• 如果分子在该点处连续,且分母为0,则分子在该点处的取值为0;

• 一个重要的结论

  $$f(x) = (x-x_0)^n|x-x_0| 该函数n阶可导n+1阶不可导$$

• 例题一:求函数最高几阶可导
• 例题二:求函数的不可导点

$$设函数f(x) = 3x^3+2x^2|x|,问该函数几阶可导$$

$$设函数f(x) = (x^2-x-2)|x^3-x|,问该函数有几个不可导的点.$$

基本函数求导

上文

四则运算的求导

基础啊

复合函数求导

链式法则

隐函数求导

• 法一: 带入求导
• 法二: 公式法
• 法三: 全微分

例题:

$$y = y(x), 由y = \tan(x+y),确定,求y'(x), y''(x)$$

反函数的求导

• 反函数存在的前提: 函数可导且单调

$$y = \Phi(x),设其反函数 x = \Phi^{-1}(y),则有如下: \\ {\Phi^{-1}}'(y) = \frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} = \frac{1}{\Phi'(x)} \\ {\Phi^{-1}}''(y) = \frac{d^2x}{dy^2} = \frac{\frac{d\frac{dy}{dx}}{dx}}{\frac{dy}{dx}} = -\frac{\Phi''(x)}{\Phi'(x)^3} \\$$

:exclamation: ==特别注意求三角函数的反函数不能用上述方法，因为三角函数不满足单调==

• 三角函数的反函数的求导
• 错解
• 正解

$$39 设 y=y(x) 在 (-1,1) 二阶可导, 满足方程: \left(1-x^2\right) \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}-x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+a^2 y=0, 作变 量替换 x=\sin t 后, y 作为 t的函数满足的方程是$$

$$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t} \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} x}=\frac{1}{\cos t} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t} \ \ 这里\frac{dt}{dx} \neq \frac{1}{\frac{dx}{dt}} \ \ 因为三角函数并不满足单调性$$

$$方法 2 y=y(x) 也是 y 作为 t 的函数与 t=\arcsin x 的复合函数, 由复合函数求导法得\\ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t} \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} x}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}, x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t} 再对 x 求导得\\ \begin{gathered} \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}=\frac{1}{\left(1-x^2\right)} \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} t^2}+\frac{x}{\left(1-x^2\right)^{\frac{3}{2}}} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t} \\ \left(1-x^2\right) \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}=\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} t^2}+\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} t^2}+x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} \end{gathered}\\ 由原方程得 \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} t^2}+a^2 y=0$$

参数方程的求导

链式法则

对数求导

解决如下问题:

• 解决幂指函数
• 对各因式积商 \ 开方

例如:

$$y = (1+x^2)^{\sin x},求y'\\ y = \sqrt[3]{\frac{(x+1)(x+2)}{x(1+x^2)}}$$

方法:

• 恒等变形
• 对数求导

高阶导数

常见高阶导数公式⁴:

• 奇偶性

• 递推公式

• Leibniz公式

• Taylor公式: taylor公式中系数的唯一性

1.3 导数应用

导数应用涉及内容

• 两点
  • 极值点
  • 拐点
• 两性
  • 单调性
  • 凹凸性
• 两线
  • 切线、法线
  • 渐近线
• 不等式
• 方程的根
• 曲率

1.3.1 单调性与极值点

单调性的定义

单调性的充分条件（充分条件！如果你想推导这个函数单调可以通过这个方法）

$$若x \in I, and \ f'(x) \gt 0 \Rightarrow 函数f(x)单调递增(反之递减) \\ (1) 函数的一阶导函数可以不存在吗？ 例如为正无穷\\ (2) 补充：(这个条件不能做充要条件的原因之一) 个别点导数为0 不影响函数的单调性。$$

由拉格朗日中值定理推论出来，故函数讲求单调性的前提之一是导函数的正负你需要知道

==单调性的必要条件==：

$$若f(x)$$

极值的定义

• 极小值定义

  $$存在一个U(x_0,\delta),f(x)在该邻域内有定义,且f(x)\gt f(x_0) \Rightarrow f(x_0)为极小值$$

• 极大值定义

  $$存在一个U(x_0,\delta),f(x)在该邻域内有定义,且f(x)\lt f(x_0) \Rightarrow f(x_0)为极大值$$

注意点：

• 极值不一定是最值，最值不一定是极值
• 在区间内部的最值是极值，连续函数唯一的极值是最值。

极值的必要条件（Fermat 引理）

==可导的==极值点导数为0（涉及到两个定义：可导的定义、极值点的定义）

$$若该点为极值，且函数连续并且可导，则f'(x_0) = 0$$

极值的充分条件

• 充分条件一：$f(x)在x_0处连续，并且在该点处的左右去心领域， f'(x)异号$
• 充分条件二：$f'(x_0) = 0 , \ \ \ f''(x_0) \neq 0 \begin{cases} >0, f(x_0)极小值 \\ <0, f(x_0)极大值 \end{cases}$
  • 充分二还有推论
• 充分条件三:

$$若f'(x_0)=f''(x_0)=f'''(x_0)=\dots=f^{(n-1)}(x_0) = 0 ,\\ f^{(n)}(x_0) \neq 0 \ \ (n为偶数，n>2) \begin{cases} >0, 极小值\\ <0, 极大值 \end{cases}$$

关于极值点的定义、必要条件、充分条件的一点理解

极值点的定义中没有提及：1、该点附近是否是==连续==或者==间断== 2、该点处是否可导

如果可导->

关于极（大/小）值点的必要条件

若已知该点为极大值/极小值 并且则$f'(x)\le0 \ \ \ \ \ or \ \ \ \ \ f'(x)\ge0$注意等于号，（推论，对于所有已知该点为极值点的）其所在（若可导）点的一阶导数为==大于等于==0 或者==小于等于==0； 多元函数情况其二阶导$f_{xx}(x_0,y_0)\le0,f_{yy}(x_0,y_0) \le0$ 极小值则相反==一定要注意必要条件是存在等于号的==

1.3.2 凹凸性

凹凸性的定义

$$若\forall x_1,x_2 \in I, 有f(\frac{x_1+x_2}{2})\lt \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2},则为凹函数，否则为凸函数$$

凹凸函数的充分条件

• 二阶导数的符号 可知 凹凸性
• 一阶导数=0，二阶导数不等于0 可知凹凸性
  • 推导 n阶导数的取值与凹凸性

关于函数的绝对值的凹凸性与原来函数的凹凸性之间的关系。

充分条件的证明：

• 可以使用lagrange中值定理
• 可以使用Tylor展开证明

可导函数凹凸性的充要条件

$$f(x)可导，则f(x)为凹函数\Leftrightarrow f ( x ) > f ( x _ { 0 } ) + f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) ( x - x _ { 0 } ) , x \neq x _ { 0 } \Leftrightarrow f ( x ) < f ( a ) + \frac { f ( b ) - f ( a ) } { b - a } ( x - a ) , x \in ( a , b )$$

Hadamard不等式

$$f ( \frac { a + b } { 2 } ) ( b - a ) \leq \int _ { a } ^ { b } f ( x ) d x \leq \frac { f ( a ) + f ( b ) } { 2 } ( b - a )$$

1.3.3 拐点

定义：

凹凸函数的转折点：一边凹一边凸

注意：问极值点：写横坐标；问极值：写纵坐标；问拐点：横纵坐标都写

拐点的必要条件

二阶可导的拐点 该点处的二阶导数为0

拐点的充分条件（类似极值点的充分条件）

• 拐点的充分条件一：函数再该点处连续，二阶导数左右去心领域异号。（不要求该点的二阶导数存在）
• 充分条件二：该点的二阶导数=0 但是三阶导数不为0
• 充分条件三：

$$若f'(x_0)=f''(x_0)=f'''(x_0)=\dots=f^{(n-1)}(x_0) = 0 ,\\ f^{(n)}(x_0) \neq 0 \ \ (n为奇数，n>3) 为拐点$$

1.3.4 渐近线

• 水平渐近线
• 斜渐近线
• 垂直渐近线

反三角函数公式

$$\arcsin(x)+\arccos(x) = \frac{\pi}{2} \\ \arctan(x) +\arccot(x) = \frac{\pi}{2} \\ \arctan(x) +\arccot(\frac{1}{x}) = \begin{cases} \frac{\pi}{2} , &x \gt 0 \\ -\frac{\pi}{2} , &x\lt 0 \end{cases} \\$$

1.3.5 证明不等式

• 化简构造辅助函数
• 求导得到单调区间
• 带入端点证明不等式—该函数在区间内符合该不等式（恒大于0 或者恒小于0）

1.3.6 方程的根

• 化简构造辅助函数
• 求导得到单调区间
• 带入端点 如果异号则有根且有一个，否则没有

1.3.7 微分中值定理

Rolle

Lagrange

Cauthy

Taylor

重点梳理：一元函数微分学

一：导数与微分

可导性关系：$f(x) 与 |f(x)| \ \ \ f(x)在x_0处连续$

• 若$f(x_0) \neq 0 则|f(x_0)| 处可导 \Leftrightarrow f(x)在x_0处可导$

• 若$f(x_0) = 0 则|f(x_0)| 处可导 \Leftrightarrow f(x)在x_0处可导，且f'(x_0)=0$

  函数在某一点可导的充要条件的证明中千万不能出现经典错误：即使用极限加减的时候没有注意到极限存在导致了函数在该点可导！

==结论==：$f(x)在x=x_0$处左右导数存在旦不相等，则在该点不可导但是必定连续

二：导数与微分计算

分段函数

分段点处使用导数定义。

其他点直接用求导公式。

复合函数

链式法则

隐函数

反函数

$$\frac{dx}{dy}= \frac{1}{y^{\prime}}$$ $$\frac{d^{2}x}{dy^{2}}= \frac{d(\frac{dx}{dy})}{dy}= \frac{d(\frac{dx}{dy})}{dx}\cdot \frac{dx}{dy}=- \frac{y^{\prime \prime}}{(y^{\prime})^{2}}\cdot \frac{1}{y^{\prime}}=- \frac{y^{\prime \prime}}{(y^{\prime})^{3}}.$$

参数方程

高阶导数

• 函数的奇偶性。
• 递推公式（泰勒展开有关）

三：导数应用

切线、法线

【类型一与方法】直角坐标y=f(x)表示的曲线

【类型二与方法】参数方程$\begin{cases} x=x(t)\\ y=y(t)\end{cases}$ 表示的曲线

【类型三与方法】极坐标$r=r(\theta)$表示的曲线

本质上也是参数方程

求渐近线

• 水平
• 垂直
  • 分母为0的点
  • 无定义端点
• 斜渐进线

求曲率

$$曲率：k= \frac{|y^{\prime}|}{(1+y^{2})^{3/2}} \\ 曲率半径 = \frac{1}{k}$$

求极值与最值

三个充分条件

求凹凸性与拐点

三个充分条件

证明不等式

• 单调性
• 微分中值定理

求方程的根

两步走：

• 单调性
• 零点定理

中值定理的证明

【类型一与方法】证明含有$\xi$一个点的等式

• 不含导数 零点Th
• 含有导数 RolleTh

方法：

• 根据导数观察得到辅助函数（观察法）
• 原函数法：（不好观察的）使用积分得到原函数
  • 将$\xi$改写为$x$，积分去掉导数符号
  • 令C=0，移项构造辅助函数。

一些结论：

• $$\lim_{n \rightarrow \infty}n \sqrt{a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+ \cdots +a_{m}^{n}}= \max a_{i}, \\ a_{i}>0(i=1,2, \cdots ,m)$$

• 函数在某一点连续$\neq$函数在那个点的某邻域内连续。

$$f(x) = \begin{cases} x^2, &x 为有理数\\ x^2+x^3,& x 为无理数 \end{cases}$$

• 不要用中值定理比较两个函数的增减性。

一些技巧：

某些举反例的方程：

函数连续+一阶导函数连续（一阶可导）+（但是）二阶导数在某一点不存在

⁴. 高阶导数公式汇总 - 知乎 (zhihu.com) ↩