考研数学（概率论部分，第六章）学习

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统计初步

统计的概念

==总体的定义==：研究对象的某项数量指标的全体称为总体，记作X.总体的每个元素称为个体

==样本的定义==：设随机变量$X_{1},X_{2}, \cdots ,X_{n}$相互独立与总体$X$同分布，称$X_{1},X_{2}, \cdots ,X_{n}$

==统计量的定义==：

常用统计量：

• 样本均值：$\overline{X}= \frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}X_{i}$

  • 样本均值和期望是不一样的概念，期望=均值的前提是需要满足大数定律！

• 样本方差：$S^{2}= \frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}- \overline{X})^{2}= \frac{1}{n-1}\left[ \sum _{i=1}^{n}X_{i}^{2}-n \overline{X}^{2}\right]$²

  样本标准差：$S= \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}- \overline{X})^{2}}$

• 样本的k阶原点矩：$A_{k}= \frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{k}$

• 样本的k阶中心矩：$B_{k}= \frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}- \overline{X})^{k}$

样本均值与样本方差的性质

设样本呢 $X_{1},X_{2}, \cdots ,X_{n}$ 来自总体的简单随机样本，且$.EX= \mu ,DX= \sigma ^{2}$则

$$E \overline{X}=EX= \mu ,D \overline{X}= \frac{1}{n}DX= \frac{\sigma ^{2}}{n},ES^{2}=DX= \sigma ^{2}$$

$$\Gamma $$ 积分$$

\Gamma(s)= \int {0}^{+ \infty}x^{s-1}e^{-x}dx,s>0, \Gamma(s+1)=s \Gamma(s) \
\Gamma(\frac{1}{2})= \sqrt{\pi}, \Gamma(1)= \int {0}^{+ \infty}e^{-x}dx=1, \Gamma(n+1)= \int _{0}^{+ \infty}x^{n}e^{-x}dx=n!

$$

三大抽样分布

• 卡方分布

==$\chi^{2}$分布的定义==： 设随机变量$X_{1},X_{2}, \cdots ,X_{n}$相互==独立==，均服从N(0,1),称$\chi^{2}=X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+ \cdots +X_{n}^{2}$ 服从自由度为n的$\chi^{2}$分布，记为：$\chi^{2}\sim \chi ^{2}(n).$

特别的：$X \sim N(0,1),$ 则$X^{2}\sim \chi ^{2}(1).$

==$\chi^{2}$分布的$\alpha$分位点的定义==：

• 上分位点的表示：$\chi_{下标\alpha 表示上分位点往后的面积（概率）}^{2} = C \ \ (表示上分位点的x坐标位置)$

==$\chi^{2}$分布的性质==：

1. 卡方分布的参数可加性：设 $\chi_{1}^{2}与 \chi _{2}^{2}$ 相互独立$\chi_{1}^{2}\sim \chi ^{2}(n_{1}), \chi _{2}^{2}\sim \chi ^{2}(n_{2}),其 \chi _{1}^{2}+ \chi _{2}^{2}\sim \chi ^{2}(n_{1}+n_{2})$
2. 设$\chi ^{2}\sim \chi ^{2}(n)$ 则$E \chi ^{2}=n，D \chi ^{2}=2n.$

• F分布

==F分布的定义==：相互==独立==的两个卡方分布的比值 $X \sim \chi ^{2}(n_{1}),Y \sim \chi ^{2}(n_{2}), F= \frac{X/n_1}{Y/n_2}$ F 是服从自由度为$n_1, n_2$的F分布，记为$F \sim F(n_{1},n_{2})$

==F分布上侧的$\alpha$分位点==：图像上该点向正方向的面积为$\alpha$

==F分布的性质==：

1. 设$F \sim F(n_{1}，n_{2}),则 \ \ \frac{1}{F}\sim F(n_{2}，n_{1})$
2. $$F_{1- \alpha}(n_{2},n_{1})= \frac{1}{F_{\alpha}(n_{1},n_{2})}$$

• t分布

==t分布的定义==：设随机变量X Y 相互独立，$X \sim N(0,1),Y \sim \chi ^{2}(n) \ 称 \ T= \frac{X}{\sqrt{Y_{n}/n}}$

==t分布的上侧$\alpha$分位点的定义==：

==t分布的性质==：

1. $设T \sim t(n)，则 \ \ T^{2}\sim F(1，n), \frac{1}{T^{2}}\sim F(n,1);$ t分布可以通过平方操作转向F分布！反过来不行！。

2. $$t_{1- \alpha}(n)=-t_{\alpha}(n).$$

三大抽样分布的随机变量以及概率密度的性质

• 卡方分布
  • 大于0
• F分布
  • 大于0
• t分布
  • 可以取到所有实数，图像对称。

六大统计量

• 单正态总体

  • $$\frac{\overline{X}- \mu}{\sigma / \sqrt{n}}\sim N(0,1),即 \overline{X}\sim N(\mu ，\frac{\sigma ^{2}}{n});$$
    • 通过这个变换可以将$\overline{X}与\chi^2 联系起来；\rightarrow (\frac{\overline{X}- \mu}{\sigma / \sqrt{n}})^2\sim \chi^2(1) \ \ (卡方分布的特别定义)$
  • $$\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma ^{2}}\sim \chi ^{2}(n-1),即 \frac{1}{\sigma ^{2}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}- \overline{X})^{2}\sim \chi ^{2}(n-1)，且 \overline{X}与S^{2}相互独立$$
    • $S^2$ 可以直接和卡方分布直接联系起来。
    • 若$\overline{X}与S^{2}相互独立$ 则$且 \overline{X}^k与S^{2m}相互独立$
    • 为什么是服从n-1自由度的卡方分布¹
  • $$\frac{\overline{X}- \mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$$

• 双正态总体

  设总体$X \sim N(\mu _{1}, \sigma _{1}^{2})$ ，总体$Y \sim N(\mu _{2}, \sigma _{2}^{2}),X_{1},X_{2}, \cdots ,X_{n_{1}}$与 $Y_{1},Y_{2}, \cdots ,Y_{n_{2}}$ 分别来自总体X与Y 的简单随机样本且相互独立，样本均值分别为$\overline{X}, \overline{Y}$ ，样本方差为$S_{1}^{2},S_{2}^{2}$ 则：

  • $$\frac{\overline{X}- \overline{Y}-(\mu _{1}- \mu _{2})}{\sqrt{\frac{\sigma _{1}^{2}}{n_{1}}+ \frac{\sigma _{2}^{2}}{n_{2}}}} \sim N(0,1)$$

• $$\frac{S_{1}^{2} / \sigma _{1}^{2}}{S_{2}^{2} / \sigma _{2}^{2}} \sim F(n_{1}-1,n_{2}-1)$$
• 当$\sigma_{1}^{2}= \sigma _{2}^{2}$时 $\frac{\overline{X}- \overline{Y}-(\mu _{1}- \mu _{2})}{S_{\omega}\sqrt{\frac{1}{n_{1}}+ \frac{1}{n_{2}}}} \sim t(n_{1}+n_{2}-2)$其中$S_{\omega}= \sqrt{\frac{(n_{1}-1)S_{1}^{2}+(n_{2}-1)S_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}}$

题型

求统计量的抽样分布

• 三大抽样分布
• 六大统计量

求统计量数值特征

• $\overline{X} 和 S^2$ 的性质
• 卡方分布的期望和方差

问题：

来自总体的样本之间相互独立同分布，那么其绝对值相互独立吗

¹. 一文弄懂为啥(n-1)s^2/σ^2是服从n-1个自由度的卡方分布（正交变换的应用） - 知乎 (zhihu.com) ↩

². 马同学 (matongxue.com) ↩